Wie bestimmt man die zweite Ableitung?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{4}}{3 x^{2}+y^{2}} & \text { falls } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \\ 0 & \text { für } x=y=0\end{array}\right.$

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Bestimmen Sie $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0), \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0), \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) \quad\left(=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(0,0)\right)$ und $\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0$

Wie bestimmt man die 2. Ableitung, wenn unten x² und y² steht?

Answer 1

Man bestimmt die 2. Ableitung wenn unten x² und y² stehen indem man zwei mal nach $x$ bzw. $y$ ableitet.

Answer 2

2-mal ableiten nach der Quotientenregel

x bzw y wie eine Konstante behandeln

nach x:

u = x⁴ -> u' = 4x²

v= 3x²+y² -> v' = 6x

nach y:

u'= 1

v' = 2y

usw.

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Es geht hier um die zweite Ableitung an der Stelle $(0,0)$.

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Die Ableitung von Null ist Null. Oder wie?

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Was ich meinte ist: Gesucht sind sämtliche zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle $(0,0)$ und nicht irgendwo anders.

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Ja, aber an der Stelle Null ist die Funktion ja schon Null.