Zeigen Sie, dass für a = 0 ein Sattelpunkt vorliegt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Kurvenschar durch fa(x) = x^3 + ax^2- 2 ; a < 0.
a)
Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art in Abhängigkeit des Scharparamters a.
b)
Geben Sie für a = -1 die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an.
c)
Zeigen Sie, dass für a = 0 ein Sattelpunkt vorliegt.

Answer 1

fa(x) = x^3 + a·x^2 - 2 mit a < 0
fa'(x) = 3·x^2 + 2·a·x = x·(3·x + 2·a)
fa''(x) = 6·x + 2·a

a) Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art in Abhängigkeit des Scharparamters a.

Extrempunkte fa'(x) = 0

x·(3·x + 2·a) = 0
x = 0 mit VZW von + zu - und und dadurch ein Hochpunkt
3·x + 2·a = 0 --> x = -2/3·a mit VZW von - zu + und dadurch ein Tiefpunkt

Für die die es lieber mit der 2. Ableitung haben

fa''(0) = 6·0 + 2·a < 0 → Hochpunkt
fa''(-2/3·a) = 6·(-2/3·a) + 2·a = -2·a > 0 → Tiefpunkt

fa(0) = 0^3 + a·0^2 - 2 = -2 → HP(0 | -2)
fa(-2/3·a) = (-2/3·a)^3 + a·(-2/3·a)^2 - 2 = 4/27·a^3 - 2 → TP(-2/3·a | 4/27·a^3 - 2)

b) Geben Sie für a = -1 die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an.

HP(0 | -2)
TP(2/3 | -58/27)

c) Zeigen Sie, dass für a = 0 ein Sattelpunkt vorliegt.

Extrempunkte fa'(x) = 0
3·x^2 + 2·0·x = 3·x^2 = 0 → x = 0 ohne VZW und dadurch ein Sattelpunkt