Warum haben wir uns nur für zwei Lösungen entschieden und nicht für drei?

Question

Aufgabe:

Warum haben wir uns nur für zwei Lösungen entschieden und nicht für drei?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}9-|3 x+3|=-\left(x^{2}-2 x-3\right) \\ =|3 x+3|+x^{2}-2 x=3 \\ 3 x+3+x^{2}-2 x-3=0 \\ x^{2}+x=0 \\ x(x+1)=0 ; \sqrt{x}-0 ; \sqrt{x--1} \\ -3 x-3+x^{2}-2 x-3=0 \\ -5 x+x^{2}-6=0 \\ x^{2}-5 x-6=0 \\ x^{2}-5 x-x+x-6=0 \\ x^{2}+x-6 x-6=0 ; x(x+1)-6(x+1) \\ (x+1)(x-6)=0 \\ \pi 10-1 ; 0\} 10-1) ; x=6\end{array} \)

Comments

Was soll denn die Aufgabe sein und was genau möchtest du dazu wissen?

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|3x+3|=-(x^2-2x-3)

3x+3>0

X1=0 , X2=-1

3x+3<0

X1=-1 , X2=6

L= {-1,0}

Warum haben wir nicht auch 6 als Lösung genommen und einfach -1 und 0 genommen?

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Eine saubere Dokumentation von Falllösung und Fallbedingung kann helfen, beide Mengen zu schneiden:$$\left\{-1;6\right\} \cap \left(-\infty; -1\right)=\left\{\right\}$$ (Schnittsmenge korrigiert)

Im hier behandelten zweiten Fall \(x<-1\) gibt es also gar keine Lösung.

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Die vorgenommene Fallunterscheidung ist nicht vollständig, da 3x+3=0 nicht untersucht wird. Man unterscheidet besser

3x+3≥0

Und

3x+3<0

Für die beiden Fälle bekommst du dann (Schein-)Lösungen. Du musst bei diesen überprüfen, ob sie die an 3x+3 gestellten Bedingungen erfüllen.

Bei 3x+3≥0 erfüllen x=0 und x=-1 die Ungleichung, d.h. das sind Lösungen

Bei 3x+3<0 erfüllt x=6 die Ungleichung nicht, d.h. man muss diese Scheinlösung verwerfen.

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Warum haben wir nicht auch 6 als Lösung genommen und einfach -1 und 0 genommen?

6 ist keine Lösung wie du durch Einsetzen in die original Gleichung leicht sehen kannst.

|3·x + 3| = - (x^2 - 2·x - 3)
|3·6 + 3| = - (6^2 - 2·6 - 3)
|18 + 3| = - (36 - 12 - 3)
|21| = - (21)
21 = - 21 → Falsch und daher ist x = 6 keine Lösung der Gleichung.

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Vielen Dank , jetzt habe ich verstanden

Answer 1

Man entscheidet sich nicht für 2 oder 3 Lösungen. Eine Gleichung hat 2 oder 3 Lösungen.

Die Gleichung |3·x + 3| = - (x^2 - 2·x - 3) hat 2 Lösungen. x = -1 ∨ x = 0

Denn die Fallunterscheidung 3·x + 3 < 0 trifft für x = 6 nun mal nicht zu. Daher ist x = 6 eben keine Lösung.

Comments

Eine vernünftige Antwort sollte die vorgenommene Fallunterscheidung kommentieren.

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Du meinst das die Fallunterscheidung völlig falsch ist, weil sie z.B. ohne Betrag geschrieben werden muss.

Wenn ja, dann ist dieses meine Kommentierung.

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Ich meine natürlich, dass der Fall |3x+3|=0 gar nicht vorkommt.

Answer 2

\(|3x+3|=-(x^2-2x-3)\)

\(|3x+3|=-x^2+2x+3   |^{2}\)

\((3x+3)^2=(-x^2+2x+3)^{2}\)

\(9x^2+18x+9=(-x^2+2x+3)^{2}\)

\(9x^2+18x+9=x^4-4x^3-2x^2+12x+9\)

\(x^4-4x^3-11x^2-6x=0\)

\(x*(x^3-4x^2-11x-6)=0\)

\(x_1=0\)   Probe:  \(|3|=-(-3)\) stimmt

\(x^3-4x^2-11x-6=0\)

\(f(x)=x^3-4x^2-11x-6\)

\(f´(x)=3x^2-8x-11\)

\(3x^2-8x-11=0\)

\(x=-1\) → \(f(-1)\\=(-1)^3-4*(-1)^2-11*(-1)-6=0\) ist eine doppelte Nullstelle

Polynomdivision:

\((x^3-4x^2-11x-6):(x^2+2x+1)=x-6\)

Probe für \(x=6\)   \(|3*6+3|=-(36-12-3)\)    \(|21|=-21\)  stimmt nicht