Aloha :)
Hier empfehle ich eine Partialbruchzerlegung:$$f(x)=\frac{14x+28}{x^2-49}=\pink{\frac{14x+28}{(x-7)\cdot(x+7)}=\frac{A}{(x-7)}+\frac{B}{(x+7)}}$$
Die Konstante \(A\) erhalten wir, indem wir die pinke Gleichung mit \((x-7)\) multiplizieren und danach \((x=7)\) einsetzen:$$\left[\pink{\frac{14x+28}{(x+7)}=A+\frac{B}{(x+7)}}\cdot(x-7)\right]_{x=7}\implies\frac{126}{14}=A+0\implies A=9$$
Die Konstante \(B\) erhalten wir, indem wir die pinke Gleichung mit \((x+7)\) multiplizieren und danach \((x=-7)\) einsetzen:$$\left[\pink{\frac{14x+28}{(x-7)}=\frac{A}{(x-7)}}\cdot(x+7)\pink{+B}\right]_{x=-7}\implies\frac{-70}{-14}=0+B\implies B=5$$
Damit haben wir die Zerlegung$$f(x)=\frac{9}{x-7}+\frac{5}{x+7}$$deren Stammfunktion wir direkt hinschreiben können:$$F(x)=9\cdot\ln|x-7|+5\cdot\ln|x+7|+\text{const}$$
