Gleichungstyp 2 /Lösung durch Sub.

Question

Aufgabe:

ex - 20e-x =-1
ex -20e-x+1= 0 l•ex
e2x+ ex - 20 = 0

Problem/Ansatz:

Woher kommt die •ex her?

Answer 1

Woher kommt die •ex her?

Du multiplizierst bei der Äquivalenzumformung mit e^x, damit e^{-x} verschwindet. Siehe Potenzgesetze

e^x - 20·e^(-x) = -1

e^x - 20·e^(-x) + 1 = 0

e^{2·x} - 20 + 1·e^x = 0

e^{2·x} e^x - 20 = 0

Subst. e^x = z

z^2 + z - 20 = 0 --> z = -5 ∨ z = 4

e^x = -5 → Keine Lösung

e^x = 4 → x = ln(4) = ln(2^2) = 2·ln(2)

Answer 2

Lösung ohne Substitution:

\(e^x - 20\cdot e^{-x} = -1\)

\(e^x - \frac{20}{e^{x}}= -1  |\cdot e^{x} \)

\(e^{2x} -20= - e^{x} \)

\(e^{2x}+ e^{x}=20  \)

\((e^x+ \frac{1}{2})^2=20+(\frac{1}{2})^2 =\frac{81}{4}  | ±\sqrt{~~} \)

1.)

\(e^x+ \frac{1}{2}=\frac{9}{2} \)

\(e^x=4 \)

\(x_1=\ln(4)\)       mit  \(\ln(e)=1\)

2.)

\(e^x+ \frac{1}{2}=-\frac{9}{2} \)

\(e^x=-5 \)  keine Lösung