Mittelwert und für welche xi element [0,4] gilt mü = f(xi)?

Question

Aufgabe:

$$\text{Berechnen Sie den Mittelwert}\\ \mu=\frac{1}{4}\int \limits_{0}^{4}f(x)dx\\\text{der Funktion f:}x\mapsto x^2-4x+1 \text{ über dem Intervall [0, 4]. Für welche }\xi\in[0,4] \text{ gilt } \mu = f(\xi)?$$

Answer 1

Aloha :)

Beim Integrieren von \(x^n\) musst du den Exponenten zuerst um \(1\) erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren, das gibt dann \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).

$$\mu=\frac14\int\limits_0^4\left(x^2-4x+1\right)dx=\frac14\int\limits_0^4\left(x^2-4x+x^0\right)dx=\frac14\left[\frac{x^3}{3}-4\frac{x^2}{2}+\frac{x^1}{1}\right]_0^4$$$$\phantom\mu=\frac14\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+x\right]_0^4=\frac14\left(\frac{64}{3}-32+4\right)=\frac14\left(\frac{64}{3}-\frac{84}{3}\right)=-\frac53$$

Die gesuchten \(\xi\in[0;4]\) sind also die Lösungen von:$$x^2-4x+1=-\frac53\quad\bigg|+3$$$$\xi^2-4\xi+4=\frac43\quad\bigg|\text{2-te binomische Formel links}$$$$(\xi-2)^2=\frac43\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$\xi-2=\pm\frac{2}{\sqrt3}\quad\bigg|+2$$$$\xi=2\pm\frac{2}{\sqrt3}$$

Comments

Super, vielen vielen Dank! :)

Answer 2

Hallo

 1. das Integral ist doch leicht warum es nicht einfach ausrechnen? wenn du μ hast setze es in die Gleichung x^2−4x+1=μ ein und löse die quadratische Gleichung.

Da du keine Frage gestellt hast, weiss ich nicht, was du nicht kannst.

lul