Kann wer erklären, ob die Aussage über Untervektorräume stimmt?

Question

Kann wer erklären, ob folgende Aussage stimmt?

Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Ferner seien U und W Untervektorräume von V. Dann ist U ∪ W genau dann ein Untervektorraum von V , wenn U ⊆ W oder W ⊆ U gilt.

Answer 1

Hallo

leider falsch! siehe den KOMMENTAR VON ERMANUS

nein, die aussage ist falsch! einfache Gegenbeispiele kannst du leicht finden V=R^3 U= Span von (1,0,0) und  W=span von {(0,1,0);(0,0,1)}

lul

Comments

Hallo lul.

Dein Gegenbeispiel ist falsch; denn dein \(U\cup W\)

ist kein Unterraum.

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Hallo ermanus

ich beuge mich gern deinem Urteil, da du fast immer recht hast, Leider bin ich im Moment zu dumm um das zu sehen, U∪W ist für mich V und  V selbst ist doch ein UVR von V?

Gruß lul

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Du verwechselst es vermutlich mit \(U+W\).

\(U\cup W\) ist bei dir die yz-Ebene mit der darauf senkrecht

stehenden x-Achse.

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Hallo

Danke ermanus, ich sehe es ein!

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Also ich war eben bei mir an der Uni und habe diese Aufgaben mit den Dozenten besprochen und die meinen ich müsste ausführlich beweisen, dass diese Aussage gilt, indem ich mit Äquivalenz die beiden Fälle U ⊆ W oder W ⊆ U beweise

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Ja. Natürlich. Das hat z.B. Oswald mit seiner
Antwort getan, wobei die Aussage

\(U\subseteq W\vee W\subseteq U\Rightarrow U\cup W\) ist Vektorraum

fast trivial ist. Daher beweist z.B. Oswald auch nur die andere,

nämlich die schwerere Richtung.

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Ich verstehe nur nicht wo oswald genau bewiesen hat, dass diese Aussage konkret stimmt.

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Ah jetzt verstehe ich! Danke sehr!

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Ich formuliere den Oswald-Beweis von

\(U\cup W\) Vektorraum \(\Rightarrow U\subseteq W\vee W \subseteq U\)

mal in meinen eigenen "Worten":

Nehmen wir an, dass weder \(U\subseteq W\), noch \(W\subseteq U\)

gälte, wohl aber \(U\cup W\) ein Untervektorraum.wäre.

Dann gäbe es \(u\in U\backslash W\) und \(w\in W\backslash U\).

\(U\cup W\) Vektorunterraum \(\Rightarrow u+w\in U\cup W\),

also \(u+w\in U\vee u+w\in W\).

Im ersten Fall folgt \(w=(u+w)-u\in U\), Widerspruch,

im zweiten Fall \(u=(u+w)-w\in W\), Widerspruch.

Answer 2

Seien \(u\in U\setminus W\), \(w\in W\), \(v = u+w\).

Falls \(v\in U\) ist, dann ist \(v-u = w\in U\).

Falls \(v\in W\) ist, dann ist \(v-w = u\in W\).

Falls \(v\notin U\wedge v\notin W\) ist, dann ist \(v \notin U\cup W\).