Bestimmen Sie alle kritischen Stellen, der Funktion in zwei Veränderlichen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=e^{x^{2}} . \)
Bestimmen Sie - falls existent - alle kritischen Stellen, d.h. alle \( (x, y) \) mit \( f_{x}(x, y)=0 \) und \( f_{y}(x, y)=0 \).
Hinweise:
- Falls es keine Lösung für \( x \) bzw. y gibt, verwenden Sie die Notation \( x=t \) bzw. \( y=[s\).
- Falls \( x \) bzw. \( y \) beliebig gewählt werden, verwenden Sie einen freien Parameter, beispielsweise \( x=t \) bzw. \( y=s \).

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis:

\( \begin{array}{l}f_{x}(x, y)=\mathrm{e}^{\wedge} \mathrm{x}^{\wedge} 2^{*} 2^{*} \mathrm{x} \quad \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \\ 0 \quad, y=\mathrm{s} \quad\} \\\end{array} \)

\( f_{y}(x, y)=0 \quad \stackrel{!}{=} 0 \quad \Leftrightarrow \quad L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=\right. \)
\( \mathrm{t} \quad, y=0 \)

Die Menge an kritischen Stellen lautet also:
\( L_{1} \cap L_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=0 \quad, y=0 \quad\right\} \)

Hab ich das alles richtig gerechnet, oder ist irgendwo noch etwas falsch?

Answer 1

Also ich würde sagen, dass da bei der Ableitung nach y noch was falsch ist.

Die Lösungsmenge ist nicht y = 0, sondern y = beliebig, weil die Ableitung unabhängig von y immer Null ist.

Comments

Die Lösungsmenge ist nicht y = 0, sondern y = beliebig, weil die Ableitung unabhängig von y immer Null ist.

Das sehe ich auch so!

Answer 2

Wo ist das y in f(x,y) ?

Comments

In der Aufgabe ist ja kein y sondern e^x^2 deswegen dachte ich wenn man das partiell ableitet kommt 0 raus.

---

Ohne y macht f(x,y) keinen Sinn.

So muss die Funktion lauten: f(x) = e^(x^2)

---

ja stimmt die aufgabenstellung ist dann falsch oder?

---

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=e^{x^{2}} \)

das ist die Aufgabenstellung.

---

In der Aufgabe ist ja kein y sondern ex^2 deswegen dachte ich wenn man das partiell ableitet kommt 0 raus.

Das ist korrekt, f(x,y) ist bzgl. y eine Konstante.

@ggT22: warum sollte \(\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\)

\((x,y)\mapsto e^{x^2}\) keine Funktion in zwei Variablen sein?

---

danke @ermanus

---

Du kannst keine partiells Abl. bilden.

Du kannst nur f(x) ableiten.

f '(x) = e^(x^2) *2x

---

Du kannst keine partiells Abl. bilden.

Das ist falsch.

f(x) = 1

ist eine Funktion in einer Veränderlichen

f(x, y) = 1

ist eine Funktion in zwei Veränderlichen.

Und das auch, obwohl in den Funktionsterm gar kein x und auch gar kein y steht.

Wenn kein y in dem Funktionsterm steht ist die partielle Ableitung nach y gleich Null. Aber damit die Ableitung gleich Null ist muss y eben nicht Null sein. Das war der Irrtum des Fragestellers.

Kritische Stellen sind also bei (0, y)

Skizze

---

Du kannst keine partielly Abl. nach y bilden.

Wieso nicht?

\(f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\)

\(=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x^2}-e^{x^2}}{h}=0\)

---

@ermanus:

Ich habe so etwas noch nie gesehen.

Wie kann man von f(x,y) sprechen, wenn y nicht vorkommt?

Wie soll man sich das vorstellen?

Punkte einer Ebene werden auf eine Gerade abgebildet??

---

Wie stellst du dir

f(x) = 1

vor, wenn dort kein x drin vorkommt? Und ich nehme an sowas hast du schon mal gesehen, oder nicht?

---

Mich irritiert, das 2 Funktionsvariabeln genannt werden, von denen 1 nicht auftritt.

Ich sehe keine Analogie zu f(x) = 1, einer Parallelen zur y-Achse.

f(x)= y= 1

Was genau willst du damit sagen?

Was ist mit f(x,y) = e^(x^2) gemeint?

---

Was ist mit \(f(x,y) = e^{x^2}\) gemeint?

Gemeint ist damit die linkstotale, rechtseindeutige Relation

\(f=\{((x,y),e^{x^2}): \; x,y\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}\)