Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x_{0}, y_{0})=(1,-1)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=y \cdot x^{2}-2 \cdot x^{2}-4 \cdot y \cdot x+8 \cdot x+4 \cdot y-8 \)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,-1) \)
\( f_{x}(x, y)= \)
\( f_{y}(x, y)= \)
\( f\left(x_{0}, y_{0}\right)= \)
\( f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)= \)
\( f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)= \)
Gleichung der Tangentialebene:
\( E: z= \)

Comments

Hallo

sag genau, was du nicht kannst, denn die Aufgabe hat keine Schwierigkeiten.

lul

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Generell bin ich bei dem thema "Funktion mehrerer Veränderlicher" sehr schlecht, da ich die letzten wochen kaum zeit hatte mich damit zu befassen, deshalb wären für mich Lösung + Lösungsweg ideal um das nachzuvollziehen.

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hallo

nach x und y ableiten ist wie im 1 dimensionalen , indem man die anderen Variablen wie Konstanten behandelt.  Das hat also nichts mit den vergangenen Wochen zu tun. die Ergebnisse dann für die Tangentialebene zu benutzen, verlangt nur, dass du in Skript oder Netz nach der Formel für die Tangentialebene suchst!

Also sieht das er nach nicht wollen als nicht können aus, und das zu belohnen sind wir nicht da, (dann kann man ja HA direkt bei Kollegen abschreiben?)

lul

Answer 1

Aloha :)

Ich würde den Funktionsterm zuerst vereinfachen:$$f(x;y)=x^2y-2x^2-4xy+8x+4y-8$$$$\phantom{f(x;y)}=x^2(y-2)-4x(y-2)+4(y-2)$$$$\phantom{f(x;y)}=(x^2-4x+4)(y-2)$$$$\phantom{f(x;y)}=(x-2)^2(y-2)$$

Nun kann man Funktionswert und partielle Ableitungen bei \((x_0;y_0)=(1;-1)\) sehr einfach berechnen:

$$f(1;-1)=-3$$$$f_x(1;-1)=2(x-2)(y-2)\big|_{(x;y)=(1;-1)}=6$$$$f_y(1;-1)=(x-2)^2=1$$

Das führt uns zu der gesuchten Ebenengleichung:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$$$\phantom z=-3+\binom{6}{1}\binom{x-1}{y+1}$$$$\phantom z=-3+6(x-1)+(y+1)$$$$z=6x+y-8$$