Zeigen Sie, dass dann die Gleichungen mit den Ableitungen 0 ergibt

Question

Aufgabe:

Es sei x0 ∈ R und wir setzen $$ \phi(x,t,u)=e^{x−tu}−u $$ für x,t,u∈R.

Text erkannt:

Es bezeichne \( u \) die Aufösung aus (a). Zeigen Sie, dass dann
\( \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)+\frac{1}{2} \frac{\partial u^{2}}{\partial x}(x, t)=0 \quad \text { für }(x, t) \in V \text { gilt. } \)

Problem/Ansatz:

Wenn man mit dem Satz von impliziten Funktionen erhalten wir (mit Berücksichtigung des Vorzeichens) für das Inverse der partiellen Ableitung nach u -1/ -t*(e^(x - t*u) -1) multipliziert mit -u * e^(x - t*u) mit partielle Ableitung nach t.

Für den zweiten Term wieder -1/ -t*(e^(x - t*u) -1) multipliziert diesmal mit der partiellen Ableitung nach x also e^(x - t*u). Jetzt müssen wir e^(x - t*u) quadrieren (?) und 1/2 davor schreiben ? Da kommt bei uns nicht 0 raus und sind bei den Ableitungen eigentlich sicher... Vielleicht sehen wir den Fehler auch nicht oder missverstehen das Quadrieren.

Vielen Dank

Comments

Es bezeichne \( u \) die Aufösung aus (a).

Der Aufgabenteil (a) ist uns leider nicht bekannt.

---

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Gleichung \( \Phi(x, t, u)=0 \) in einer Umgebung von \( \left(x_{0}, 0, \mathrm{e}^{x_{0}}\right) \) differenzierbar nach \( u \) auflösbar ist, es also eine offene Umgebung \( V \) von \( (x, t) \) und eine eindeutig bestimmte differenzierbare Funktion \( u: V \rightarrow \mathbb{R} \) gibt mit \( \Phi(x, t, u(x, t))=0 \) für \( (x, t) \in V \).

---

Ansätze helfen auch gerne :)

---

Was ist denn euer Ergebnis aus a)?

Answer 1

Laut Satz über implizite Funktionen gilt

$$(u_x\:\:u_t) = -\frac 1{\Phi_u}\cdot (\Phi_x\:\: \Phi_t)$$Partielles Differenzieren ergibt:

$$\Phi_x = e^{x-tu}$$$$\Phi_t = -ue^{x-tu}$$$$\Phi_u=-(1+t e^{x-tu})$$Damit erhalten wir:

$$\frac 12 (u^2)_x = u\cdot u_x = \frac u{1+te^{x-tu}}e^{x-tu}$$$$u_t = -\frac u{1+te^{x-tu}}e^{x-tu}$$

Also$$u_t +\frac 12(u^2)_x = 0$$