Ermittle die Nullstellen der Funktionenschar

Question

Aufgabe:

Ermittle die Nullstellen der Funktionenschar

$$f_t(x)=x^2-2x+2t-t^2$$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht das mit der p-q-Formel zu lösen

$$x_{1,2}= 2+- \sqrt{1-2t+t^2}$$

Weiter komme ich nicht

Answer 1

Hallo,

\(x_{1,2}= 1\pm \sqrt{1-2t+t^2}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{t^2-2t+1}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{(t-1)^2}\\\\ x_1=1+t-1=t\\ x_2=1-t+1=2-t\)

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

du gehst stillschweigend davon \( \sqrt{(t-1)^2}=t-1 \) gilt?

Für t<1 gilt \( \sqrt{(t-1)^2}=1-t\) .

Glücklicherweise spielt diese Unterlassung im weiteren Verlauf keine Rolle ...

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Stimmt, an t < 1 habe ich nicht gedacht und bei der Kontrolle mit Geogebra fiel es mir auch nicht auf, weil es in diesem Fall offenbar wirklich keine Rolle spielt. Puh...

Answer 2

p= -2, q= 2t-t^2

t^2-2t+1 = (t-1)^2

Answer 3

Es geht auch ohne pq-Formel: $$\begin{aligned} f_t(x) &=x^2-2x+2t-t^2\\ &=x^2-2x-\left(t^2-2t\right)\\ &=x^2-2x+1^2-\left(t^2-2t+1^2\right)\\ &=\left(x-1\right)^2-\left(t-1\right)^2\\ &=\left(x-1-\left(t-1\right)\right)\cdot\left(x-1+\left(t-1\right)\right)\\ &=\left(x-t\right)\cdot\left(x-\left(2-t\right)\right).\\ \end{aligned}$$Die Nullstellen \(x=t\) und \(x=2-t\) können nun abgelesen werden.

Answer 4

Aloha :)

$$f(x)=\green{x^2}-2x+2t\green{-t^2}=(\green{x^2-t^2})-(2x-2t)=(x+t)\pink{(x-t)}-2\pink{(x-t)}$$$$\phantom{f(x)}=(x+t-2)\pink{(x-t)}=(x-(2-t))(x-t)$$Die Nullstellen sind also:\(\quad x_1=2-t\;\lor\;x_2=t\).