Zeigen Sie, dass mα eine R-lineare Abbildung des R-Vektorraums C nach C ist.

Question

Aufgabe:Sei α ∈ ℂ eine komplexe Zahl und m_α : ℂ → ℂ die Abbildung z → α*z

Zeigen Sie, dass m_α  eine R-lineare Abbildung des R-Vektorraums C nach C ist.

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei einer solchen Aufgabe vor?

Also wie zeigt man soetwas?

Comments

Wie geht man bei einer solchen Aufgabe vor?

Komische Frage!

Man zeigt, dass $m_{\alpha}$ die Eigenschaften

einer $\mathbb{R}$-linearen Abbildung besitzt.

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Vllt komisch gestellt. Aber ich verstehe halt nicht, wie man so etwas im Allgemeinen zeigen soll.

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Ich zeige es dir in meiner Antwort ;-)

Answer 1

1. Additivität:

$m_{\alpha}(z_1+z_2)=\alpha\cdot (z_1+z_2)=\alpha\cdot z_1+\alpha\cdot z_2$ (Distributivgwesetz in $\mathbb{C}$)

$=m_{\alpha}(z_1)+m_{\alpha}(z_2)$

2. Homogenität:

Für $r\in \mathbb{R}$ gilt

$m_{\alpha}(r\cdot z)=\alpha\cdot(r\cdot z)=r\cdot (\alpha\cdot z)=r\cdot m_{\alpha}(z)$.

Hier wurde die Kommutativität und Assoziativität der

Multiplikation in $\mathbb{C}$ benutzt.

Comments

Also muss man nur die Eigenschaften (Homogenität und Additivität) einer R-Linearen Abb. zeigen.

Und damit reicht es aus? Ich frage nur, weil ich mir manches Mal unsicher bin, was genau unter den Operator Zeige genau erwartet wird.