Untervektorräume bestimmen

Question

Aufgabe:

$$U:=span\begin{pmatrix} 1\\-2\ \end{pmatrix} , U':= span \begin{pmatrix} 2\\-4 \end{pmatrix}$$

i. Geben Sie zunächst alle UVRe von ℝ² an, welche sowohl U als auch U' enthalten

ii. Das Ergebnis von i nutzen, um U+U' anzugeben

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? In meinen Unterlagen finde ich leider nichts dazu

Answer 1

Für Untervektorraäume \(U_1,U_2\) eines endlich-dimensionalen

Vektorraums \(V\) gilt:

\(U_1\subseteq U_2 \wedge \dim(U_1)=\dim(U_2)\Rightarrow U_1=U_2\).

Es ist \(U'\subseteq U\). Ferner gilt \(\dim(U)=\dim(U')=1\).

Folglich ist \(U=U'\).

Ist \(W\) ein Unterraum, der \(U\) enthält, so gilt

\(\dim(W)\in \{1,2\}\). Überlege dir, dass

daraus \(W=U\) oder \(W=\mathbb{R}^2\) folgt.

Klar ist \(U+U'=U+U=U\).

Answer 2

Hallo

der span von U und U' ist doch derselbe, da u'=2*u ist.

deshalb ist auch U+U'=U=U'

lul