Aufgabe:
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Aufgabe \( 4 \quad \) (5 Punkte)
(a) (2 Punkte) Finden Sie eine Lösung des Anfangswertproblems
\( y^{\prime}+\frac{y}{1+x}+(1+x) y^{4}=0, \quad y(0)=1 \)
in einer Umgebung von 0. (Hinweis: Substituieren Sie \( z=y^{-3} \).)
(b) (3 Punkte) Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall, \( a \in I \) und \( c>0 \). Seien \( g, h: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash\{1\} \). Zeigen Sie, dass ein offenes Intervall \( I^{\prime} \subset I \) mit \( a \in I^{\prime} \) existiert, so dass das Anfangswertproblem
\( y^{\prime}+g(x) y+h(x) y^{\alpha}=0, \quad y(a)=c \)
genau eine Lösung in \( I^{\prime} \) besitzt und finden Sie eine Formel für die Lösung. (Hinweis: Substituieren Sie \( z=y^{1-\alpha} \).)
Kann hier jemand helfen?
