Fehleranalyse, absolute und relative Konditionszahlen. Numerik

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen
\( f(x)=(2-x)^{2} \quad \text { und } \quad g(x)=\frac{1}{(2+x)^{2}} \)
für \( -2<x<2 \).
a) Bestimmen Sie die absoluten und die relativen Konditionszahlen zu beiden Funktionen in Abhängigkeit von \( x \). Für welche Werte \( x \) wird die relative Konditionszahl jeweils beliebig hoch? Wie nennt man den dafür verantwortlichen Effekt?

b) Es gilt \( a:=f(\sqrt{3})=g(\sqrt{3}) \). Es soll \( a \) über die Auswertung von \( f \) bzw. \( g \) an der Näherung \( \hat{x}=1.7 \approx \sqrt{3}=1.7321 \ldots \) berechnet werden. Welche der Varianten \( f \) oder \( g \) ist im Sinne des erwarteten Fehlers vorzuziehen? (Begründung!)

c) Die Funktion \( f \) wird nun über \( f(x)=(2-x) \cdot(2-x) \) ausgewertet (erst Summation, dann Multiplikation). Durch Rundungsfehler entstehe die Auswertung \( \tilde{f}(x) \) für eine Maschinenzahl \( x \in(-2,2) \) bei Annahme einer idealen Arithmetik. Geben Sie eine reelle Zahl \( \tilde{x} \) an, sodass \( \tilde{f}(x)=f(\tilde{x}) \) gilt. Zeigen Sie dann mittels Linearisierung \( |\tilde{x}-x| \leq 6 \varepsilon_{0} \) mit der Maschinengenauigkeit \( \varepsilon_{0} \). Ist dieser Algorithmus zur Auswertung von \( f \) gutartig/stabil? (Begründung!)
Hinweis: Linearisierung der Wurzelfunktion lautet \( \sqrt{1+z} \doteq 1+\frac{1}{2} z \) für kleine \( z \).

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Comments

Klar, aber wo genau ist Dein Problem? Formeln für a) schon rausgesucht? Gegebenes eingesetzt? Damit wäre a) schon fast fertig. Also, fang mal an und benenn ggf. Dein Problem konkret.

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Danke erstmal für deine Antwort. Das sind die Formeln für a) oder?

Definition: Kondition
Ein Problem heisst gut konditioniert, falls kleine Änderungen \( \Delta x \) bzw. @x nur in kleinen Änderungen \( \Delta y \) bzw. @y resultieren, andernfalls schlecht konditioniert. Als Konditionszahlen hat man
\( \left|\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}}\right|, \quad\left|\frac{x_{j}}{y_{i}} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}}\right| \)

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Sind das wirklich die Formeln aus Deiner Lehrveranstaltung? Das sind Formeln für mehrdimensionale Situationen, und die Formeln sind auch nicht vollständig. Du hast \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), dafür brauchst Du einfachere Formeln. Und vergiss nicht die Argumente dahinter.

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Definition: Kondition

Ein Problem heisst gut konditioniert, falls kleine Änderungen \( \Delta x \) bzw. @x nur in kleinen Änderungen \( \Delta y \) bzw. @y resultieren, andernfalls schlecht konditioniert. Als Konditionszahlen hat man
\( \left|\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}}\right|, \quad\left|\frac{x_{j}}{y_{i}} \frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x_{j}}\right| \)
Auch die vier arithmethischen Grundoperationen sind nach Definition ein Problem und haben deshalb eine Kondition. Für den absoluten Fehler hat man die Auswirkungen:
\( \begin{aligned} \Delta(a \pm b) & =\Delta a \pm \Delta b \\ \Delta(a \cdot b) & =b \Delta a+a \Delta b \\ \Delta(a / b) & =\Delta a / b-a \Delta b / b^{2} \end{aligned} \)

Für die relativen Fehler dagegen (mit \( \varrho x=\Delta x / x) \) :
\( \begin{aligned} \varrho(a \pm b) & =\varrho a \frac{a}{a \pm b} \pm \varrho b \frac{b}{a \pm b} \\ \varrho(a \cdot b) & =\varrho a+\varrho b \\ \varrho(a / b) & =\varrho a-\varrho b \end{aligned} \)
Wie man sieht, sind die relativen Konditionszahlen für Multiplikation und Division 1, so dass diese Operationen als gut konditioniert bezeichnet werden. Bei der Addition/Subtraktion sind die absoluten Konditionszahlen klein, die relativen dagegen unbegrenzt. Die sogenannte Auslöschung kann hier eine gefährliche Situation darstellen: Falls \( a \pm b \approx 0 \), heben sich die gemeinsamen führenden Ziffern weg.

Sind sie nicht? ich bin jetzt verwirrt..

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Und da steht nichts über die Funktion \(\varphi\)? Wenn das alles ist, was in Deinem Skript dazu steht, solltest Du Dir noch andere Unterlagen dazu suchen.

Gibt es noch was über Kondition von Funktionsauswertungen?

Um in dieser Notation zu bleiben: Du hast hier \(\varphi(x_1)=f(x)\), und die (absolute) Konditionszahl an der Stelle \(x\) ist dann \(|f'(x)|\) und die relative \(\frac{|f'(x)|\cdot |x|}{|f(x)|}\). Das ist die übliche Definition (kann aber u.U. sein, dass es anders in Deiner Lehrveranstaltung anders definiert, daher sind Deine Unterlagen ausschlaggebend).

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hallo

die Frage war nicht nach gut konditioniert, sondern nach der Konditionszahl und der relativen Konditionszahl, Dazu hattet ihr Formeln, die sollst du verwenden, oder sagen warum du sie nicht verwenden kannst.

schreib sie für f(x) auf und nicht für irgend ein φi

lul

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\( f(x)=(2-x)^{2}, g(x)=\frac{1}{(2+x)^{2}} \)
die abrolute \( \quad\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|=|2 x-4| \)
die relative \( :\left|\frac{x(2 x-4)}{y}\right|=\left|\frac{2 x^{2}-4 x}{(2-x)^{2}}\right|=\left|\frac{2 x}{x-2}\right| \)
die abrolute \(\left|\frac{\partial g}{\partial x}\right|=\left|\frac{-2}{(x+2)^{3}}\right|=\frac{2}{(x+2)^{3}} \)
die relativa :
\( \begin{aligned} \left|\frac{x\left(\frac{2}{(x+2)^{3}}\right)}{g}\right|=\left|\frac{\frac{2 x}{(x+2)^{3}}}{\frac{1}{(2+x)^{2}}}\right| & =\left|\frac{2 x}{x+2}\right| \\ & =\frac{2 x}{x+2} \end{aligned} \)

Richtig?

Answer 1

Es geht jetzt von Kommentar in Antwort über, daher hier weiter:
Wie gesagt, lass das \((x)\) nicht weg (das birgt Gefahr der Verwirrung bei Anfängern).

Also: absolute Kondition von \(f\) an der Stelle \(x\) ist ... (ergänze das Argument). Usw. ergänze und dann stimmt alles.

Es ist in a) aber noch eine Frage zu beantworten...

Comments

Von der andere Frage in a) habe ich leider keine Ahnung.. Könntest du mir bitte Tipps geben oder so..

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Du hast einige Ausdrücke ausgerechnet und die Frage ist, für welche x zwei davon beliebig groß werden. Wo ist das Problem?

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Für f(x) wenn x = 2 ist.

Für g(x) wenn x = -2 ist.
Richtig?
heißt der Effekt "Konditionierung" ?

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Besser wäre: in der Nähe von... .

Konditionierung ist das allgemeine Thema, es gibt da genaueres. Lies deine Definition nochmal.

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Zu b)
\(a = f(\sqrt{3}) = (2 - \sqrt{3})^2 \approx 0.1429\)

\(a = g(\sqrt{3}) = \frac{1}{(2 + \sqrt{3})^2} \approx 0.1429\)

Wie kann ich jetzt wissen, welche der Varianten \( f \) oder \( g \) im Sinne des erwarteten Fehlers vorzuziehen ist?

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Zu c)

Wir betrachten die Auswertung von \(f(x)\) mit Rundungsfehler:

\(\tilde{f}(x) = (2 - x) \cdot (2 - x) + \delta\)

Wir wollen \(f(\tilde{x})\) gleich \(\tilde{f}(x)\) setzen:

\(f(\tilde{x}) = (2 - \tilde{x}) \cdot (2 - \tilde{x}) = (2 - x) \cdot (2 - x) + \delta\)

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:

\(4 - 4\tilde{x} + \tilde{x}^2 = 4 - 4x + x^2 + \delta\)

Durch Umstellen erhalten wir:

\(\tilde{x}^2 - x^2 - 4(\tilde{x} - x) = \delta\)

Wir können die Linearisierung der Wurzelfunktion verwenden:

\(\sqrt{1 + z} \approx 1 + \frac{1}{2}z\)

In unserem Fall haben wir \(z = \tilde{x}^2 - x^2 - 4(\tilde{x} - x)\). Setzen wir dies in die Linearisierung ein:

\(\sqrt{1 + \tilde{x}^2 - x^2 - 4(\tilde{x} - x)} \approx 1 + \frac{1}{2}(\tilde{x}^2 - x^2 - 4(\tilde{x} - x))\)

Ich komme jetzt nicht weiter (Wenn das überhaupt richtig wäre)...

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a) Ist noch nicht vollständig beantwortet. Große Konditionszahl heißt schlecht konditioniert, kleine gut konditioniert. Also?

b) Es ist erstmal nicht davon die Rede, dass \(a\) ausgerechnet werden soll. Es geht darum, welche der beiden Varianten günstiger ist. Das sieht man an der Konditionszahl.

Wenn Du das geklärt hast, kannst Du \(a\) mit beiden Formeln ausrechnen (aber auf viele Stellen genau), mit dem exakten Wert vergleichen und Deine Vorhersage (welche Formel günstiger ist) überprüfen. Mach das.

c) Dazu später mal.

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Zu a)

Für f(x) wenn x in der Nähe von 2 ist.

Für g(x) wenn x in der Nähe von -2 ist.

Zu b) verstehe nicht was du damit gemeint hast… kannst du mir bitte das Schreiben?

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a) ist immer noch nicht vollständig, lies die Aufgabe genau.

b) Rechne die Konditionszahlen aus. Beantworte damit die Frage in der Aufgabe und vor allem(!) überprüfe Deine Antwort wie ich oben erklärt habe (damit Du verstehst, was Konditionszahl bedeutet).

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Wie rechne die Konditionszahlen aus? So?

\( |\tilde{x}-x|\)

Wenn ja, was ist x in diesem Fall wenn x~ = 1.7 ist?

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Verstehe die Frage nicht. Ich hab Dir oben die Formeln genannt, und Du hast sie auch schon angewendet. Jetzt sind wir wieder zurück auf null?

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Meinst du die Formeln von absoluten und relativen Konditionszahlen?

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Kommen denn noch andere Konditionszahlen vor?

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Kommen denn noch andere Konditionszahlen vor? Verstehe nicht, was hier unklar ist.

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Ich verstehe nicht was ich mit \( \sqrt{3} \) machen soll

die abroluten Konditionszahlen für f \( |2 x-4| \) = |2\( \sqrt{3} \) - 4|

die relativen Konditionszahlen für f \( :\left|\frac{2 x}{x-2}\right| \) = \( \left|\frac{2 (\sqrt{3})}{\sqrt{3}-2}\right| \)

die abroluten Konditionszahlen für g \(\frac{2}{(x+2)^{3}} \) = \(\frac{2}{(\sqrt{3}+2)^{3}} \)

die relativen Konditionszahlen für g :\( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+2} \)

So? Wenn ja, was soll ich jetzt machen ?

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Die Frage in der Aufgabe beantworten: "Welche der Varianten \( f \) oder \( g \) ist im Sinne des erwarteten Fehlers vorzuziehen? (Begründung!)". Die Antwort basiert ja auf den Konditionszahlen. Mach Dir dazu die Bedeutung der Kondtionszahlen klar.

Das ist in Deinem Skript in 2.3 erklärt (die Herleitung brauchst Du nicht, aber die Erklärungen, besonders solltest Du Abb. 5 und 6 verstehen).

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Ok ich gucke mal

Was ist mit c) ? Habe ich da richtig gemacht?

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was ist mit c) ist richtig was ich geschrieben habe?

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Du hast a) und b) noch nicht fertig. Da macht es keinen Sinn über c) zu reden.

Ich blicke auch bei c) selbst noch nicht ganz durch und hätte nur Teilüberlegungen dazu.

Dass Dein c) NICHT richtig sein kann, siehst Du selbst: In der Aufgabe steht ja "Geben Sie eine reelle Zahl \( \tilde{x} \) an,..." - und Du kannst ja selbst feststellen, ob Du das gemacht hast oder nicht.

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zu c) wir haben die Gleichung \(4 - 4\tilde{x} + \tilde{x}^2 = 4 - 4x + x^2 \)
Um die Gleichung nach \(\tilde{x}\) zu lösen, können wir sie zunächst vereinfachen:

\(4 - 4\tilde{x} + \tilde{x}^2 = 4 - 4x + x^2\)

\(-4\tilde{x} + \tilde{x}^2 = -4x + x^2\)

Jetzt können wir die Gleichung nach \(\tilde{x}\) lösen, indem wir sie als quadratische Gleichung behandeln:

\(\tilde{x}^2 - 4\tilde{x} = x^2 - 4x\)

\(\tilde{x}^2 - 4\tilde{x} - (x^2 - 4x) = 0\)

Um die quadratische Gleichung \(\tilde{x}^2 - 4\tilde{x} - (x^2 - 4x) = 0\) zu lösen, verwenden wir die pq-Formel. Diese lautet:

\(\tilde{x} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

In diesem Fall ist \(a = 1\), \(b = -4\) und \(c = -x^2 + 4x\). Setzen wir diese Werte ein:

\(\tilde{x} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-x^2 + 4x)}}{2 \cdot 1}\)

\(\tilde{x} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4x^2 - 16x}}{2}\)

\(\tilde{x} = \frac{4 \pm \sqrt{4x^2 - 16x + 16}}{2}\)

\(\tilde{x} = \frac{4 \pm \sqrt{4(x^2 - 4x + 4)}}{2}\)

\(\tilde{x} = \frac{4 \pm \sqrt{4(x - 2)^2}}{2}\)

\(\tilde{x} = \frac{4 \pm 2(x - 2)}{2}\)

\(\tilde{x} = 2 \pm (x - 2)\)

Die Lösungen der Gleichung sind also:

\(\tilde{x} = 2 + (x - 2) = x\) und \(\tilde{x} = 2 - (x - 2) = 4 - x\)


Richtig?

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Nein. Aber wie schon gesagt...

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b) Es ist erstmal nicht davon die Rede, dass \(a\) ausgerechnet werden soll. Es geht darum, welche der beiden Varianten günstiger ist. Das sieht man an der Konditionszahl.Wenn Du das geklärt hast, kannst Du \(a\) mit beiden Formeln ausrechnen (aber auf viele Stellen genau), mit dem exakten Wert vergleichen und Deine Vorhersage (welche Formel günstiger ist) überprüfen. Mach das.

Absolute Konditioszahl: f(a) = | 2\( \sqrt{3} \) -4| = 0.535

Relative Konditionszahl: f(a) = | \( \frac{2*\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} \)| = 12.928

Absolute: g(a) = 0.038

Relative: g(a) = 0.928

Damit folgt, dass g günstiger ist oder?

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mit dem exakten Wert vergleichen

Für f:

1.7 - 0.535 = 1.165

1.7 - 12.928 = - 11,228

Für g:

1.7 - 0.038 = 1.662

1.7- 0.928 = 0.772

Richtig so?