Berechne die Stammfunktion

Question

Aufgabe:

Integriere die Funktion f(x)=(3x^2+6x+5)/(x^3+x^2+x+1).

Ich weiß, dass ich Partialbruchzerlegung anwenden muss, aber komme dort nicht weiter

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Wie weit kommst Du denn? Hast Du die PBZ verstanden? Warum kommst Du nicht weiter?

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Ich bin mir unschlüssig wenn der zähler x(Ax+B)+A+B steht wie ich dann das Gleichungssystem aufstelle

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https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Ansatz: \( \frac{3x^2+6x+5}{x^3+x^2+x+1} \)=\( \frac{A}{x+1} \)+\( \frac{B}{x^2+1} \). Jetzt Bruchrechnung (Hauptnenner rechts) und Zählervergleich. Dabei muss man offenbar in die komplexen Zahlen gehen.

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Der Ansatz stimmt so nicht.

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Ja genau so hab ich's auch, aber wie vergleich ich die dann? Ax^2=3x^2 und Bx=6x und A+B=5 ? Oder wie?

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Dieser Ansatz führt offenbar in die komplexen Zahlen. Genaueres weiß ich nicht.

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Und komplexe Zahlen sind auch nicht nötig.

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Der Ansatz von nudger ist richtig, meiner ist falsch.

Answer 2

Der Ansatz in der anderen Antwort ist falsch. Du musst auf der rechten Seite \(\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\) ansetzen. Damit sollte es glatt gehen. Um auf das LGS zu kommen, vergleicht man die Koeffizienten der x-Potenzen. Dazu muss man aber alles ausmultiplizieren und nach x-Potenzen sortieren. Es sollte da insb. keine ausgeklammerten Ausdrücke der Form Dx+E stehen, sonst kann man nicht gut vergleichen.

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Ich komme irgendwie auf andere lösungen als beim integralrechner. Kannst du mir bitte die lösung sagen?

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A=1, B=2, C=4

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$$3x^2+6x+5 = A\cdot\left(x^2+1\right) + \left(Bx+C\right)\cdot\left(x+1\right)$$Bevor man in dieser Situation daran geht, einen Koeffizientenvergleich vorzubereiten, kann man mit \(x=-1\) leicht \(A=1\) folgern und erhält die neue und einfachere Gleichung $$2x^2+6x+4 = \left(Bx+C\right)\cdot\left(x+1\right).$$Mit \(x=0\) folgt dann noch \(C=4\) und \(B=2\) kann aus der zweiten Gleichung auch unmittelbar abgelesen werden.