Grenzwert einer Reihe bestimmen - ∑ 11/3 ^{k+1} - Schritte

Question

Entschuldigt meine Grundschulkenntnisse :)

Reihe:

(null bis unendlich) ∑ (11/3 ^{k+1} )

Eine einfache Grenzwertbestimmung, die ich teilweise verstehe. Ich verstehe jedoch diesen Punkt nicht: Wie komme ich von 11/3^{k+1} auf den Faktor 11/3, der vor das Summenzeichen geschrieben wird, also

11/3 * ∑ 1/3^k

Warum kann man die 11/3 rausnehmen? Was ist der gedankliche Schritt? Faktoren soll man ja rausnehmen können... Wo bleibt das +1 der Potenz k+1 ?

Die Lösung hab ich (11/2) schon

Answer 1

$$\frac { 11 }{ { 3 }^{ k+1 } } =\frac { 11 }{ { 3*3 }^{ k } } =\frac { 11 }{ 3 } *\frac { 1 }{ { 3 }^{ k } }$$

Comments

Kann passieren :-)

Beachte auch meine nachträglich hinzugefügte Anmerkung!

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Dann hat der Lehrer aber ein Fehler gemacht, er sagt 11/2

Wo macht sich der Unterschied denn bemerkbar? Ich setze es in meine Formel 1 / 1- q ein, spielt da die 0 oder 1 als Beginn eine Rolle?

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$$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{11}{3^{k+1}}=\frac{11}{3} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{k}}= \frac{11}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{11}{3}\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$$$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{11}{3^{k+1}}=\frac{11}{3} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^{k}}- \underbrace{\frac{11}{3}}_{a_0}=\frac{11}{2}-\frac{11}{3}=\frac{11}{6}$$Allgemein: für \(|q|<1\)$$\sum_{k=0}^{\infty}a_0q^k=\frac{a_0}{1-q}$$$$\sum_{k=1}^{\infty}a_0q^k=\frac{a_0}{1-q}-a_0=\frac{a_0 q}{1-q}$$

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Vergiss meine Anmerkungen, ich habe dort einen Fehler gemacht, sorry:

Du hingegen hast richtig gerechnet.

Ich habe meine falschen Anmerkungen gelöscht.