Hebt sich Wurzel mal Wurzel auf?

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Gleichungen

a) $$\sqrt{x+4}+2=x$$

b) $$\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0$$

c) $$\sqrt{2x+10}= \sqrt{x+2}+ \sqrt{x+2}$$

Problem/Ansatz:

a) $$\sqrt{x+4}=x-2$$ jetzt quadrieren und dann nach x umstellen

b) Hebt sich Wurzel mal Wurzel auf?

c)  Was mache ich hier?

Answer 1

a)

\(\sqrt{x+4}+2=x\)

\(\sqrt{x+4}=x-2   |^{2}\)

\(x+4=x^2-4x+4 \)

\(x^2-5x=0 \)

1.)

\(x_1=0\)

2.)

\(x_2=5\)

b)

\(\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0\)

\(\sqrt{(x-1)*(x+4)}=0  |^{2}\)

\((x-1)*(x+4)=0 \)

1.)

\(x_1=1\)

2.)

\(x_2=-4\)  Probe durch Einsetzen  \(\sqrt{-4-1}*\sqrt{-4+4}=0\)     \(\sqrt{-5}*0=0\)  ✓

c)

\(\sqrt{2x+10}= \sqrt{x+2}+ \sqrt{x+2}  |^{2} \)

\(2x+10= x+2+2* \sqrt{x+2}+x+2   \)

Vereinfachen zusammenfassen, Wuzel auf eine Seite und nochmal quarieren.

Am Ende prüfen durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.   ( Bei vorigen Aufgaben auch)

Comments

Bei der c) würde ich doch auf der rechten Seite einfach 2*Wurzel(x+2) hinschreiben und dann quadrieren oder?

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Du hast vollkommen recht.

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Probe bei b) ist falsch: \(-4\) ist keine Lösung.

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Probe bei b) ist falsch: \(-4\) ist keine Lösung.

Wolfram sieht es als richtig an:

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Ist trotzdem falsch. Und wolframalpha sieht \(-4\) auch nicht (ohne weiteres) als Lösung an.

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√(-5) * 0 ist durchaus Null in den Komplexen Zahlen. In den reellen Zahlen ist √(-5) und damit der ganze Term nicht definiert.

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Ich denke, dass die gesamte Aufgabe in den reellen Zahlen

gemeint ist; denn bei dem Niveau dürfte eine Kenntnis der

komplexen Zahlen eher unwahrscheinlich sein.

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In den reellen Zahlen ist √(-5) und damit der ganze Term nicht definiert.

Wenn man beide Teilterme unter einem Wurzelzeichen zusammenfasst, s.o., dann wäre es aber erlaubt.

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Das ist richtig. Aber dann ist es auch nicht mehr

ein äquivalenter Ausdruck. Es gilt

\(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}\) im Reellen nur dann, wenn

\(\sqrt{a}\) und \(\sqrt{b}\) im Reellen definiert sind.

Sonst bekommt man z.B. solche Effekte

\(-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\)

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Ah, ok, danke!

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Deswegen ist √(-1) bei Mathematikern grundsätzlich erstmal nicht definiert, weil es nicht die komplexe Zahl gibt, die quadriert -1 ergibt, denn es gilt:

z^2 = -1 → z = ± i

Aber ansonsten wird in allen technischen Studiengängen auch durchaus mit √(-1) gerechnet als sei dieses einfach i.

Answer 2

Zu b)

\(\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+4}=0\iff \sqrt{x-1}=0\; \vee \; \sqrt{x+4}=0\iff\)

\(x=1 \vee x=-4\).

Neufassung nach hifreichen Kommentaren

Die Wurzeln sind nur reell, wenn \(x\geq 1\; \wedge x\geq -4\) ist.

Also gibt es nur Lösungen \(x\geq 1\). Für diese \(x\) gilt

\(\sqrt{x+4}\neq 0\). Daher folgt aus \(\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=0\)

die Aussage \(\sqrt{x-1}=0\), also \(x=1\).

Comments

Und bei der Probe stellt man fest, dass \(-4\) keine Lösung ist.

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Richtig. Ich hätte bereits zu Anfang \(x\geq 1\) berücksichtigen

müssen / können.

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Ja, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

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Nein, weil Radikanden \(\geq 0\) sein müssen.

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Hier trifft doch beides zu, oder?

Wenn ich quadriere, erhalte ich eine falsche Lösung.

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Ja. Aber ich quadriere gar nicht.

Ich nutze für \(a\geq 0\): \(\sqrt{a}=0\iff a=0\).

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Warum schreibst du x=1 v x= -4, wenn -4 ausscheidet?

1 oder -4 oder beides trifft doch nicht zu.

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Das habe ich doch geschrieben. Dass ich bereits

zu Anfang hätte \(x\geq 1\) berücksichtigen müssen,

was ich ja offenbar unterlassen hatte.

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Nochmal korrekt dargestellt:

Die Wurzeln sind nur reell, wenn \(x\geq 1\; \wedge x\geq -4\) ist.

Also gibt es nur Lösungen \(x\geq 1\). Für diese \(x\) gilt

\(\sqrt{x+4}\neq 0\). Daher folgt aus \(\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=0\)

die Aussage \(\sqrt{x-1}=0\), also \(x=1\).

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Warum editierst du die Antwort nicht?

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Das kann ich gerne noch machen. Aber dann werden die

kritischen Kommentare nicht mehr verständlich.

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Mit dem Zusatz "Ergänzung nach hilfreichen Kommentaren" müsste es doch gehen.

:-)

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Habe meinen Beitrag - wie MontyPython anregte - korrigiert.
Danke ! ;-)

Answer 3

Aloha :)

zu a) Da die Wurzel stets \(\ge0\) ist, ist die linke Seite \(\ge2\), daher muss \(x\ge2\) gelten. Das behalten wir bei der Rechnung im Hinterkopf.$$\sqrt{x+4}+2=x\quad|-2$$$$\sqrt{x+4}=x-2\quad|(\cdots)^2$$$$x+4=x^2-4x+4\quad\big|-4-x$$$$x^2-5x=0\quad\big|\text{\(x\) ausklammern}$$$$x\cdot(x-5)=0\quad\big|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$\cancel{x=0}\;\lor\,\pink{x=5}$$Die Lösung \(x=0\) fällt weg, da wir oben bereits festgestellt haben, dass \(x\ge2\) sein muss.

zu b) Hier greift der Satz vom Nullprodukt sofort. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.$$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=0\quad\implies\quad \pink{x=1}\;\lor\;\cancel{x=-4}$$Aber die Lösung \(x=-4\) fällt weg, da der erste Faktor dann \(\sqrt{-5}\) lauten würde, was in den reellen Zahlen nicht definiert ist.

zu c) Hier würde ich die Wurzeln einfach stehen lassen$$\sqrt{2x+10}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x+2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+8}$$und nur die Terme unter den Wurzeln vergleichen:$$2x+10=4x+8\implies2=2x\implies\pink{x=1}$$

Answer 4

b) Hebt sich Wurzel mal Wurzel auf?

Nein: \(\sqrt{x-1}\sqrt{x+4}=0\) wird zu \(\sqrt{(x-1)·(x+4)}\}=0\)

c)  Was mache ich hier?

Siehe Antwort auf deine entsprechende Frage.

Comments

Gut dann würde ich danach quadrieren und hätte

(x-1)(x+4)=0 Multipliziere ich aus und stelle nach x um

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Ja, genau so.

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(x-1)(x+4)=0 Multipliziere ich aus und stelle nach x um

Hier ist es schneller den Satz vom Nullprodukt zu verwenden.

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Moliets hat natürlich recht.

Answer 5

a) √(x+4) = x - 2 jetzt quadrieren und dann nach x umstellen

Ich würde als erstes evtl. noch den Definitionsbereich klären.

Achte am Ende darauf eine Probe zu machen

b) Hebt sich Wurzel mal Wurzel auf?

Nein

√a * √b = √(a * b)

Wende bei Aufgabe b) aber den Satz vom Nullprodukt an. Kläre auch hier vorher den Definitionsbereich.

c)  Was mache ich hier?

Quadrieren

√(2·x + 10) = √(x + 2) + √(x + 2)
√(2·x + 10) = 2·√(x + 2)
√(2·x + 10) = √(4·x + 8)
2·x + 10 = 4·x + 8
2 = 2·x
x = 1