Aloha :)
zu a) Da die Wurzel stets \(\ge0\) ist, ist die linke Seite \(\ge2\), daher muss \(x\ge2\) gelten. Das behalten wir bei der Rechnung im Hinterkopf.$$\sqrt{x+4}+2=x\quad|-2$$$$\sqrt{x+4}=x-2\quad|(\cdots)^2$$$$x+4=x^2-4x+4\quad\big|-4-x$$$$x^2-5x=0\quad\big|\text{\(x\) ausklammern}$$$$x\cdot(x-5)=0\quad\big|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$\cancel{x=0}\;\lor\,\pink{x=5}$$Die Lösung \(x=0\) fällt weg, da wir oben bereits festgestellt haben, dass \(x\ge2\) sein muss.
zu b) Hier greift der Satz vom Nullprodukt sofort. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.$$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+4}=0\quad\implies\quad \pink{x=1}\;\lor\;\cancel{x=-4}$$Aber die Lösung \(x=-4\) fällt weg, da der erste Faktor dann \(\sqrt{-5}\) lauten würde, was in den reellen Zahlen nicht definiert ist.
zu c) Hier würde ich die Wurzeln einfach stehen lassen$$\sqrt{2x+10}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x+2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+8}$$und nur die Terme unter den Wurzeln vergleichen:$$2x+10=4x+8\implies2=2x\implies\pink{x=1}$$