Koordinatenvektoren und v bestimmen

Question

Aufgabe:

Problem 1 Transformation
Gegeben seien die folgenden Basen von \( \mathbb{R}^{2} \) :
\( \mathcal{B}_{1}:=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right) \text { und } \mathcal{B}_{2}:=\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)\right) . \)

(b) Ein Vektor \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{2} \) habe den Koordinatenvektor \( \mathbf{v}^{\mathcal{B}_{1}}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 3\end{array}\right) \). Wie lautet der Vektor \( \mathbf{v} \) ? Wie lautet der Koordinatenvektor \( \mathbf{v}^{\mathcal{B}_{2}} \) ?
(c) (*) Zusatz: Für welche Basis \( \mathcal{B}_{3} \) gilt \( T_{\mathcal{B}_{3} \leftarrow \mathcal{B}_{1}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) ?

Problem/Ansatz:

wie löst man b) und c) bzw. ist der Vektor V (1,-1) ?

Answer 1

b)

v = - 2·[1, 2] + 3·[1, 1] = [1, -1]

a·[-1, 1] + b·[2, -1] = [1, -1] --> a = -1 ∧ b = 0 → v^B2 = [-1, 0]

Du hast den Vektor also schon richtig bestimmt. Es fehlte nur der zweite Teil, den Vektor bezüglich der Basis B2 zu notieren.

Comments

Für c) hätte ich die Basis

$$B_3 = \left( \binom{1}{2},\binom{-1}{-3} \right)$$

Das sollte aber jemand zur Sicherheit überprüfen.