Begründen Sie, warum es keine weiteren Lösungen gibt.

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2 Newtonverfahren: a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
\( x^{6}-x^{2}+3 x=0 \)
mithilfe des Newtonverfahrens. Starten Sie dabei mit selbst gewählten Startwerten und beenden Sie die Iteration, wenn sich die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert.
b) Begründen Sie, warum es keine weiteren Lösungen gibt.

Hallo, die a habe ich gelöst bekommen. Jedoch weiß ich nicht, wie ich begründen soll das ich alle Lösungen gefunden habe. Kann mir da jemand weiter helfen?

Vielen Dank schonmal und viele Grüße

Answer 1

x^6 - x^2 + 3·x = x·(x^5 - x + 3)

Du bräuchtest doch jetzt nur begründen, dass der Term x^5 - x + 3 nur noch eine weitere Nullstelle hat. Das kann man leicht über die Extrempunkte machen.

g(x) = x^5 - x + 3

g'(x) = 5·x^4 - 1 = 0 → x = ± (1/5)^{1/4}

g(-(1/5)^{1/4}) > 0
g((1/5)^{1/4}) > 0

Der Teil der Funktion g(x), in der der Graph streng monoton fallend ist, befindet sich also komplett oberhalb der x-Achse. Ansonsten ist der Graph streng monoton steigend und schneidet die x-Achse daher genau einmal.

Vielleicht hilft dir eine Skizze das noch besser zu verstehen:

~plot~ x^5-x+3;{-0.669|3.535};{0.669|2.465} ~plot~

Answer 2

Nachdem du -0,143 und (hoffentlich ohne Näherungsverfahren) x=0 gefunden hast: Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte (falls diese existieren) und ziehe Schlussfolgerungen.

Comments

Doch habe die Aufgabe a mit dem Newtonverfahren gelöst.

Das mit den Hich und Tiefpunkten verstehe ich noch nicht so ganz, was ich daraus schlussfolgern soll.

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Die Funktion hat einen Tiefpunkt unter der x-Achse. Um außer den beiden Nullstellen noch eine dritte Nullstelle zu haben, müsste die Funktion noch einen Hochpunkt haben, an dem sie "wieder nach unten umkehrt".

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Ich habe einen Tiefpunkt bei ungefähr (-0,961|-3,019) gefunden. Woher weiß ich, dass es nicht noch einen Hochpunkt H(x_H|y_H) mit y_H > 0 gibt?

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Nachdem du -0,143 ... gefunden hast

\( x \approx-1.34129 \)