Wendepunkt und die Wendetangente

Question

Aufgabe:

Berechne den Wendepunkt und die Wendetangente, benutze hier zu die notwendige und hinreichende Bedingung. Taschenrechner freier Teil

a.) f(x)=0,5x^3-3x^2+5x

b.) f(x)=x^3+3x^2+x+2

c.) f(x)= -0,5x^3-1,5x^2

Die Ableitungen kann ich machen, jedoch ist mein Problem das ich nicht weiß was ich bei der hinreichenden Bedingung machen soll und wie Ich dann die Wendetangente herausfinde

Bitte um Hilfe mit Erklärung

Answer 1

\(f(x)=x^3+3x^2+x+2\)

\(f´(x)=3x^2+6x+1\)

\(f´´(x)=6x+6\)

\(6x+6=0\)

\(x_W=\orange{-1}\)   \(f(-1)=(-1)^3+3*(-1)^2+(-1)+2=-1+3-1+2=\red{3}\)

\(f´(-1)=3*(-1)^2+6*(-1)+1=3-6+1=\green{-2}\)

Wendetangente:

\( \frac{y-\red{3}}{x-(\orange{-1})}=\green{-2} \)

\( y=-2x+1 \)

Answer 2

die Wendetangente herausfinde

t(x) = (x-xW)*f '(xW) +f(xW)

xW = Wendestelle

WP:

f ''(x)= 0

f '''(x) ≠0

Eine hinreichende Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung null wird und die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist.

Answer 3

Entweder nimmst du als notwendige und hinreichende Bedingung

f''(x) = 0 und f''(x) ≠ 0

oder

f''(x) = 0 (Nullstelle mit Vorzeichenwechsel)

a)

f(x) = 0.5·x^3 - 3·x^2 + 5·x
f'(x) = 1.5·x^2 - 6·x + 5
f''(x) = 3·x - 6 = 0 → x = 2 mit VZW von - nach +

Wendetangente

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2) = 4 - x

Skizze

~plot~ 0.5x^3-3x^2+5x;4-x ~plot~