Wie viele solcher (Tanzflächen-) Besetzungen sind möglich?

Question

Aufgabe:

Auf einem Fest sind 12 Männer und 12 Frauen. − Ein Tanzpaar besteht aus 1
Mann und 1 Frau, und eine (Tanzflächen-) Besetzung besteht aus 12 gleichzeitig
tanzenden Paaren.
a) Wie viele solcher (Tanzflächen-) Besetzungen sind möglich?
b) 8 der Frauen und 8 der Männer tanzen gut. − Bei wie vielen dieser Besetzungen treffen nur gute Tänzerinnen und Tänzer aufeinander?

Ansatz:

a) Einer Frau wird ein Mann zugeordnet dafür ergeben sich 12 Möglichkeiten der nächsten Frau wird dann wieder ein Mann zugeordnet dafür ergeben sich dann noch 11 Möglichkeiten somit habe ich 12x11x10x...x1=12! Möglichkeiten für Tanzpaarungen. (zum Verständnis: Alle Elemente sind von Bedeutung, daher handelt es sich um eine Permutation. Da ohne Zurücklegen gezogen wird wird die Aufgabe mit n! gelöst)

b) und hier bin ich mir nicht sicher ob ich richtig liege:

Wenn 8 gute Männer und 8 Gute Frauen vorhanden sind, und jeder gute Mann mit jeder guten Frau tanzen kann dann habe ich 8x8=64 Möglichkeiten für das erste gute Tanzpaar.

Für das zweite gute Tanzpaar bleiben dann jeweils 7 gute Frauen und 7 gute Männer somit 7x7=49 Möglichkeiten... usw.

Daraus ergeben sich dann also

64x49x36x25x16x9x4x1=16777216 gute Kombinationen von guten Tanzpaaren unter den 12! Tanzpaaren insgesamt.

Liege ich hier richtig und welcher Kombinatorische Ansatz wird hier gewählt?

Answer 1

Auf einem Fest sind 12 Männer und 12 Frauen. Ein Tanzpaar besteht aus 1 Mann und 1 Frau, und eine (Tanzflächen-) Besetzung besteht aus 12 gleichzeitig tanzenden Paaren.

a) Wie viele solcher (Tanzflächen-) Besetzungen sind möglich?

Das hast du völlig richtig gemacht.

12! = 479001600 Möglichkeiten

b) 8 der Frauen und 8 der Männer tanzen gut. − Bei wie vielen dieser Besetzungen treffen nur gute Tänzerinnen und Tänzer aufeinander?

Das hast du leider nicht richtig. Warum rechnest du 8*8 = 64. Du hast doch unter a) auch nicht 12*12 = 144 gerechnet.

Wir ordnen jedem guten Tänzer eine gute Tänzerin zu. Dafür gibt es 8! Möglichkeiten. Für die Zuordnung der schlechten Tänzer und Tänzerinnen gibt es nochmal 4! Möglichkeiten. Daher gibt es

8!·4! = 967680 Möglichkeiten

Comments

also wie im Urnenmodell? ich suche die Kombinationen von Zügen wo ich die speziellen 8! Kugelkombinationen ziehe? Aber ich ziehe ja weiterhin 12 Tanzpaare? daher bleiben die x4! schlechten Tanzpaare noch zu multiplizieren?

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Stell dir vor alle Männer sind schon auf der Tanzfläche und es ist Damenwahl. Jetzt stürmt jede der Damen zu einem Tänzer. Die erste gute Tänzerin hat also 8 Herren zur Wahl. Die zweite gute Tänzerin noch 7 usw. Die letzte gute Tänzerin muss dann mit dem letzten guten Tänzer vorlieb nehmen. Dann ist eine der übrigen Tänzerinnen dran, die nicht so gut tanzen kann. Die kann sich dann einen der 4 übrigen Tänzer auswählen. Das macht man bis alle Tanzpaare gebildet sind.

Es ergeben sich wie gehabt die

8!·4! = 967680 Möglichkeiten

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Perfekt! Dankeschön!

Answer 2

Es gibt 8! Möglichkeiten, die 8 guten Tänzer auf die 8 guten Tänzerinnen zu verteilen.

Es gibt 4! Möglichkeiten, die 4 nicht guten Tänzer auf die 4 nicht guten Tänzerinnen zu verteilen.

Insgesamt ergibt das 8!·4! Möglichkeiten.