Grenzwert Bernoulli - Kette

Question

Wie zeige ich, dass gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}=0 \\ \text{für} \\ 0 \leq p \leq 1\\ \text{k < n} \\ \text{k,p konstant}$$

Comments

Es müsste lauten:

$$\text{für} \\ 0 < p < 1 \\ 0 < k < n \\ \text{k, p konstant}$$

(siehe weitere Kommentare)

Answer 1

Den Term \(\frac{p^k}{(1-p)^k}\) kannst du schon mal vor den Limes ziehen, da das bzgl. Variation von \(n\) konstant ist. Schreibe dann die Definition des Binomialkoeffizients auf:$$\frac{p^k}{(1-p)^k}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\cdot (1-p)^n \\=\frac{p^k}{(1-p)^k\cdot k!}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1)\cdot (n-k)!}{(n-k)!}\cdot (1-p)^n$$ Kürzen:$$=\frac{p^k}{(1-p)^k\cdot k!}\lim\limits_{n\to\infty}n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\cdot (1-p)^n$$ Nun muss man nur noch wissen, dass exponentielle Terme bei \(n\to \infty\) dominieren. Konzentriere dich also auf \((1-p)^n\). Wenn \(1\geq p>0\), geht der Ausdruck gegen \(0\).

Comments

Vielen Dank für die hilfreichen Umformungen, zum Thema Dominieren:

Man kann ja theoretisch den ersten Teil des Limes-Arguments wie folgt nach oben abschätzen:

$$ n \cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1) \leq n^k$$

und dann kann man eben mit der Argumentation kommen, dass ein exponentieller Ausdruck einen Potenzausdruck "schlägt".

Lässt sich das irgendwie formal zeigen?

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Ja, klar. Solltest du nach kurzer Recherche finden. Das, was du brauchst, ist das hier:

(ex: Busam, Epp: Prüfungstrainer Analysis, 3. Auflage, S. 72)

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Super, danke, das gefällt mir sehr gut, weil es durch die Majorante eingepfercht wird, die eindeutig gegen 0 konvergiert.

Trotzdem scheint mir auch hier ein Fehler in der Antwort zu stecken (auch wenn es nichts an der generellen Richtigkeit des Beweises ändert), es müsste doch eigentlich lauten:

$$\begin{pmatrix} n \\ p +1 \end{pmatrix}\cdot x^{p+1}=\frac{n\cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot \boxed{(n-p)}}{(p+1)!}\cdot x^{p+1}$$

also (n-p) anstelle von (n-p+1).

Dann noch eine andere Frage: Wenn Du schreibst "nach kurzer Recherche", wie konkret läuft Deine "kurze Recherche"? Schaust Du offline in Büchern nach, von denen Du weißt, dass Du dort die nötigen Infos findest oder gibt es eine Online-Datenbank, die Dir weiterhilft?

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Das ist ein Standardbeweis. Such einfach "exponential growth + polynomial growth + limit" und man wird sofort fündig. Sollte auch in vielen Skripten zur Analysis sein, ebenso in vielen Büchern. Das Buch, das ich zitiere, habe ich selbst mal gelesen, daher wusste ich es direkt.

Answer 2

Du könntest untersuchen was mit dem Term passiert, wenn du n um 1 erhöhst indem du den Quotienten bildest.

(n + 1 über k)·p^k·q^((n + 1) - k) / ((n über k)·p^k·q^(n - k))
= q·(n + 1)/(n + 1 - k)

Langfristig geht (n + 1)/(n + 1 - k) gegen 1 und damit geht der Ausdruk gegen q

Das heißt wenn du n gegen unendlich laufen lässt dann geht der Term gegen 0,

Comments

Soweit ich das erkenne, wendest Du das Quotientenkriterium für Folgen an und weist durch $$lim_{n\to\infty} ( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ) <1$$ nach, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

Wenn ich keinen Denkfehler habe, müsste es aber eigentlich doch $$lim_{n\to\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right) = lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+1}{n-k}\cdot q \right)= q <1$$

sein, anstelle von $$n+1-k$$ im Nenner? Ändert aber auch nichts am Ergebnis.

Damit ist die Behauptung aus meiner Frage aber eigentlich auch "nur" für $$ 0 < p \leq 1 $$ gezeigt, denn für p = 0 hätten wir ja q = 1.

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p=0 ist trivial. Das Produkt wird dann Null.

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Wie gehst Du mit dem Fall p=0 und k=0 um?

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für k = 0 gilt

(n über 0) * p^0 * (1 - p)^n = (1 - p)^n

also für p = 0 (wenn wir mal 0^0 als 1 definieren) eben genau 1.

Das bedeutet, dass die Einschränkungen nicht gültig sind. Es sollte sein

0 < p < 1

Du hast damit also einen Fehler deines Profs entlarvt.

Es ist auch etwas unlogisch das wenn k nicht den Wert n annehmen kann das k dann den Wert 0 annehmen kann.

Vielleicht sollte es auch lauten: 0 < k < n

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Einen Fehler von mir selbst, aber danke :D. Ich habe mich gefragt, wie man formal zeigen kann, was sichtbar ist, wenn man sich die Histogramm-Entwicklung von Binomialverteilungen nur anschaut, nämlich, dass die Höhe der Säulen für 0 < p < 1 bei immer größer werdendem n gegen 0 tendiert und dann beim Aufschreiben der Bedingungen nicht genügend überlegt.

Das Problem mit dem Fall p = 0 und k = 0 ist allerdings auch, dass man dann auf den Fall $$ 0^0 $$ stößt und das ist ja dann gleich die nächste Büchse der Pandora.

Im Fall einer Binomialverteilung müsste man aber logischerweise eigentlich argumentieren, dass die Festlegung $$ 0^0 = 1 $$ hier Sinn macht, denn wenn man eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0 annimmt, sollte man ja sicher sagen können, dass man null Treffer bekommen wird.

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Dann hast du das gut und treffend zusammengefasst und wie ich denke, auch verstanden.