Wie stellt man diese Formel nach n um, sodass man den in der Aufgabe beschriebenen Zeitpunkt erhält?

Question

Aufgabe:

Privatier Karl R. hat die Möglichkeit, ein Unternehmen für 1.000.000 € zu erwerben. Laut Prognose werden Rückflüsse von 35.000 € pro Jahr erwartet, welche jährlich um 3% wachsen. Die erste Zahlung erfolgt dabei in 15 Jahren.

Zu welchem Zeitpunkt n müssten die Rückflüsse des Unternehmens beginnen, damit Karl R.
zwischen einer Investition in das Unternehmen und einer Investition am Kapitalmarkt zu einem Zinssatz von 5% indifferent ist? (Gehen Sie von der ursprünglichen Auszahlung von 35.000 € aus.)

Dies ist die Formel von der ausgegangen wird:

Text erkannt:

\( N P V=-1000000+\frac{\frac{c}{r-g}}{(1+r)^{n-1}}=0 \)

C= 35000 r=0,05 g=0,03

Wie stellt man diese Formel nach n um, sodass man den in der Aufgabe beschriebenen Zeitpunkt erhält?

Answer 1

Der Zähler des Bruches sei z:

-1000.000 + z/(1+r)^(n-1) = 0

z/(1+r)^(n-1) = 1000.000

(1+r)^(n-1)/z = 1/1000000

(1+r)^(n-1) = z/1000000

(n-1)*ln(1+r) = ln(z/1000000)

n-1 = ln(z/1000000)/ln(1+r)

n= ln(z/1000000)/ln(1+r)  -1

Answer 2

\(\displaystyle -1000000+\frac{\frac{c}{r-g}}{(1+r)^{n-1}}=0 \quad\land\quad c = 35000 \quad\land\quad r=0,05 \quad\land\quad g=0,03 \\\\ \iff \quad -1000000+\frac{\frac{35000}{0,02}}{(1,05)^{n-1}}=0 \\\\ \iff \quad \frac{1750000}{(1,05)^{n-1}}=1000000 \\\\ \iff \quad 1,75=(1,05)^{n-1} \\\\ \iff \quad \log_{1,05} (1,75)={n-1} \\\\ \iff \quad n= \log_{1,05} (1,75)+1=\frac{\ln(1,75)}{\ln(1,05)}+1 \approx 12,5\)