Bestimmen Sie die Ordnung aller Elemente modulo 48

Question

Aufgabe:

Ordnung aller Elemente modulo 48 bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei a=9 nicht weiter. Finde aber meinen Fehler auch nicht

Text erkannt:

5) Orchung aller Elemente modulo 48 $f(4 X)=28_{24}$
$\begin{array}{l} f(48)=2 \cdot 24 \\ =2 \cdot 2 \cdot 12 \\ =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 \\ \text { Teilerfr. Zahlen } \\ 1,5,7,9,11,13,17,19,23,25,29,31,37,4,43,47 \\ =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ \cdot 2^{4} \cdot 3^{1} \\ =\left(2^{4}-2^{3}\right) \cdot\left(3^{1}-3^{3}\right) \\ =(16-8) \cdot(3-1) \\ 48,96,144,192,240 \\ 288,336,384,432,480 \text {. } \\ 528,576,624,672,720 \\ \end{array}$
Teiler von $16=1,2,4,8,16$
$\begin{array}{ll} a=1 & 1^{1}=1(48) \\ a \cdot 5 & 5^{2}: 25(48) \\ & 5^{4}=5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 25 \cdot 25 \cdot 625 \equiv 1(48) \end{array}$
$a=7 \quad 7^{2}=49 \equiv 1(48)$
$\begin{array}{l} a=9 \quad g^{2}=81=33(48) \\ g^{4}=g^{2} \cdot g^{2}=3333=1089 \equiv 15(48) \\ g^{8}=9^{4} \cdot g^{4}=15 \cdot 15=225 \equiv 33 \text { (48) } \\ g^{16}=33.33 \cdot 1089 \equiv 15(48) \\ \end{array}$

Comments

Tipp: ggT(9,48) = 3 ≠ 1, ggT(35,48) = 1.

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Den Tipp verstehe ich leider nicht

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Deine Liste der zur Zahl 48 teilerfremden Zahlen stimmt nicht. Die 9 gehört nicht dazu, dafür hast du die 35 vergessen.

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Ah Danke! Ist mir nicht aufgefallen, jetzt ergibt dein Tipp auch Sinn.

Hast du eventuell einen Tipp, wie ich schneller das lösen kann? Die Quadratzahlen bis 25 habe ich im Kopf, aber geht es dann an 17⁴ oder 35⁸, bekomme ich Probleme. Ich kann dann zwar 17² * 17² rechnen oder 35⁴ * 35⁴, aber das dauert ja auch.

Und es wäre sinnvoll, wenn ich zuerst 48*1,…48*20 rechne um dann leichter zu schauen?

Answer 1

Was ist 1098 mod 48 ? Ist das nicht auch 33

9¹ mod 48 = 9
9² mod 48 = 33
9³ mod 48 = 9

Comments

Die 9 ist in dieser Aufgabe nicht von Belang.

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Ich komme bei a=9 nicht weiter. Finde aber meinen Fehler auch nicht

Ging es nicht um die Ordnung von 9?

Achso. Du meinst, weil 9 keine Teilerfremde Zahl ist.

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Die 9 war ein Fehler, sie dachte sie wäre teilerfremden zu 48, dem ist ja nicht so. Daher braucht sie diese nicht, um die Ordnungen von modulo 48 zu berechnen

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Genau

und weil 9³ = 9 mod 48 ist, gibt es keinen Exponenten, sodass 1 herauskommt und die Ordnung wäre unendlich. Daher muss 9 nicht teilerfremd gewesen sein, denn für teilerfremde Zahlen ist die Ordnung ja endlich.

Man könnte dies also durchaus als Probe auffassen.