Drei Dreiecke in einem Kreis

Question

Welchen Radius R_min muss eine Kreisscheibe mindestens haben, damit man in ihr drei kongruente gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge  1  überlappungsfrei unterbringen kann ?

Comments

Zum Hintergrund:

Ich hatte vor einiger Zeit eine "Beweisaufgabe" in einem anderen Forum gestellt:

 MMAATTHHEERRAAUUMM.de/read?i=1101046

Leider war meine damalige Vermutung falsch - und ein Beweis also unmöglich. Daraus ergab sich dann die hier gestellte Frage als "Anschlussaufgabe". Eine gesicherte Lösung habe ich aber leider bis jetzt noch nicht. Es lohnt sich aber wohl, die Beiträge im Matheraum-Thread durchzusehen.

(leider musste ich die Adresse etwas verfremden - aber hoffentlich ist mir dies auch gelungen)

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Hallo Al-C.,

schön, von dir zu hören!

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"Hallo Al-C."

Hast du mich schon entdeckt ?  Sich verstecken zu wollen, scheint sinnlos ...

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Im Gegensatz zu mir hast du ja eine neue Identität angenommen und erst mit dem MMAATTHHEERRAAUUMM eine unvorsichtige Spur gelegt

;-)

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Naja, meine "Identität" sehe ich ja ohnehin anderswo. Und den "MMAATT...." habe ich doch nur eingesetzt, weil die eigentliche Netz-adresse "mathe...."  hier nicht akzeptiert wurde. Aber jedenfalls hallo und willkommen hier in einer noch einigermaßen funktionierenden Umgebung !

Answer 1

Ich gehe mal von 0,5+0,25\( \sqrt{3} \) aus.

Comments

Hallo abakus

Leider habe ich selber (noch) keine Lösung. Wie kommst du auf den angegebenen Wert ?

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Ich nehme an, dass die Strecke BI (Seitenlänge plus Dreieckshöhe) der minimale Durchmesser ist. (Die hier eingezeichneten Kreise sind nur Hilfslinien).

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Wenn BI der Durchmesser des Kreises ist, dann liegen A und E außerhalb.

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Ich sehe es. Der Durchmesser muss also größer sein.

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Ist es nicht der Umkreis eines Sechsecks? Also r=1?

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Wie ich richtig vermutet hatte ist der Umfang des Umkreises am kleinsten, wenn sich zwei Dreiecksseiten berühren.

In dieses Lage haben die 3 den Umkreis bestimmenden Eckpunkte die Koordinaten C(0|1), G(-0,5√3 | -0,5) und G'(0,5√3 | -0,5).

Da der sich daraus ergebende Kreis aber einen Radius >1 hat, gibt es bei der skizzierten Art der Anordnung keine Minimallage. Die Vermutung von willyengland ist richtig.

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Die Vermutung von willyengland ist richtig.

Nein.

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Vielleicht so?

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Noch besser ist es so :

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Habe das hier gefunden:

https://erich-friedman.github.io/packing/triincir/

r = 3√3 - 3√2 = .953+
Found by Erich Friedman
in 1997.

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Oh, vielen Dank !

Da hat sich offenbar einer (Friedman) schon ganz umfassend und professionell mit dem Thema befasst. Und ich habe wohl nur den einfachsten nicht-trivialen Fall "entdeckt" aber nicht einmal gelöst bekommen ...

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... eigentlich wäre ich doch noch froh, einen Beweis für die Minimaleigenschaft der Lösung von Erich Friedman zu sehen !

Wo genau findet man sowas ?

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Bemerkung am Rande :

Unabhängig von α zwischen 0° und 60° ist der Radius des Kreises immer 1.

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Unabhängig von α zwischen 0° und 60° ist der Radius des Kreises immer 1.

Interessant ! Nur gäbe es da halt immer auch noch einen kleineren Kreis, in welchem die Dreiecke Platz fänden (Figur dann etwas weniger symmetrisch).

Eine mögliche Zusatzfrage zu deiner (symmetrischen) Figur:  Für welchen Wert des Winkels α ist der Flächeninhalt des "Zwickels" zwischen den Dreiecken am größten ?