Zeige, dass die Funktion injektiv oder bijektiv ist (Abbildungen/Funktionen)

Question

Aufgabe:

Sei \( G \) eine Menge und sei \( e \in G \). Wir betrachten \( M=G \times G \) und eine Funktion \( \phi: M \rightarrow G \) so dass

- \( \phi(\phi(a, b), c)=\phi(a, \phi(b, c)) \) für alle \( a, b, c \in G \);

- \( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \);

- für alle \( g \in G \) gibt es ein \( h \in G \), so dass \( \phi(g, h)=\phi(h, g)=e \).

(a) Zeige dass für alle \( a, b \in G \) die Gleichung \( \phi(a, x)=b \) eine Lösung \( x \) hat.

(b) Zeige dass für alle \( a, b \in G \) diese Gleichung genau eine Lösung \( x \) hat.

Problem/Ansatz:

1. Ich verstehe nicht, was das Bild von der leeren Menge aus M nach G bedeuten soll. Wie kann man ein Bild aus der leeren Menge erstellen??

2.

bei a) soll man zeigen, dass es eine Lösung gibt, also Injektiv. Wie zeige ich das am Besten?

bei b) soll man zeigen, dass es genau eine Lösung gibt, also bijektiv wie ist da der Ansatz?

Und was ist bei dem ersten Punkt gemeint: Die leere Menge von der leeren Menge von a,b und c = die leere Menge von a und die leere Menge von b,c?? Ist das nur zur Verwirrung da?

Ich mein Jede Menge enthält die leere Menge, aber wie können Elemente einer Menge die leere Menge enthalten????

Answer 1

\(\phi\) ist nicht die leere Menge, sondern ein griechischer Buchstabe.

Stelle dir vor, \(G\) sei die Menge der ganzen Zahlen und \(\phi\) sei die Addition.

\( \phi(\phi(a, b), c)=\phi(a, \phi(b, c)) \) für alle \( a, b, c \in G \);

Das ist dann das Assoziativgesetz.

\( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \)

Das bedeutet dann, dass es eine Zahl \(z\) gibt, so dass \(n+z = z+n = n\) für alle \(n\in \mathbb{Z}\) ist. Welche Zahl ist \(z\)?

für alle \( g \in G \) gibt es ein \( h \in G \), so dass \( \phi(g, h)=\phi(h, g)=e \)

Das bedeutet dann, dass es zu jeder ganzen Zahl eine Gegenzahl gibt.

(a) Zeige dass für alle \( a, b \in G \) die Gleichung \( \phi(a, x)=b \) eine Lösung \( x \) hat.

Gib eine Lösung an und zeige durch eine Probe dass es eine Lösung ist.

(b) Zeige dass für alle a,b∈Ga,b∈G diese Gleichung genau eine Lösung xx hat.

Verwende Gleichungsumformungen.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort.

- "Gib eine Lösung an und zeige durch eine Probe dass es eine Lösung ist."

Kann ich da die vollständige Induktion anwenden? Also erst 1 einsetzen und dann zeigen, dass es für n+1 gilt?

Kann ich mir dann für a, b und x beliebige Zahlen ausdenken? (a+x)=b also z.B. 1+2=3 und danach 1+1 +2+1 =3+1 = 2+3=4 und das wäre ja falsch

- Oder soll ich beweisen, dass das Assoziativgesetz gilt, also x ist in (a,b) und c und x ist in a und (b,c) ?

- Steht beim letzten Punkt letztendlich +(+(a,b),c) ?

- z ist dann 1 (wofür brauche ich das in der Aufgabe?)

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Kann ich da die vollständige Induktion anwenden?

Nein. Die Menge \(G\) braucht ja noch nicht ein mal aus Zahlen zu bestehen.

Kann ich mir dann für a, b und x beliebige Zahlen ausdenken?

Nein. Die Menge \(G\) braucht ja noch nicht ein mal aus Zahlen zu bestehen.

Oder soll ich beweisen, dass das Assoziativgesetz gilt,

Nein. Das Assoziativgesetz gilt laut Voraussetzung. Es ist deshalb weder notwendig, noch hilfreich, zu beweisen, dass das Assoziativgesetz gilt.

Steht beim letzten Punkt letztendlich +(+(a,b),c) ?

Ich weiß nicht, was du mit "letzten Punkt" meinst.

z ist dann 1

Nein. Zum Beispiel ist 5+1 ≠ 5.

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Ich muss ehrlich sagen, danke für die Hilfe, aber ich bin nicht im Stande diese Aufgabe zu lösen.

Wäre für einen Ansatz sehr dankbar, wenn nicht dann bleibe ich wohl unwissend :(

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(a) Zeige dass für alle \( a, b \in G \) die Gleichung \( \phi(a, x)=b \) eine Lösung \( x \) hat.

Mit \(G = \mathbb{Z}\) und \(\phi = +\) ist

        \(x = -a + b\)

eine Lösung der Gleichung.

Beweis. Probe durchführen.

Du musst die Probe dann so verallgemeinern, dass eben nicht \(G = \mathbb{Z}\) und \(\phi = +\) sein muss. Stattdessen stehen dir nur die in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaften von \(\phi\) zur Verfügung.

(b) Zeige dass für alle \( a, b \in G \) diese Gleichung genau eine Lösung \( x \) hat.

Laut Teil (a) hat die Gleichung mindestens eine Lösung.

Dass diese Lösung die einzige ist, erkennt man an

\(\begin{aligned} &  & a+x & =b\\ & \implies & -a+a+x & =-a+b\\ & \implies & x & =-a+b \end{aligned}\)

Auch hier musst du die Rechnung so verallgemeinern, dass nur die in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaften von \(\phi\) verwendet werden.

BTW Ich glaube, ich habe bei der Rechnung ein paar Zwischenschritte übersprungen.

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Okay, also bei a) habe ich jetzt verstanden , dass x mindestens eine Lösung hat, ist ja nur eine normale Funktion. Jetzte verstehe ich auch, dass \( \phi(a, x)=b \) = a+x =b und dann x = -a+b.

Bei b) ist mir auch klar, wieso x genau eine Lösung hat.

Also z.B. x=3: 3= -2 + 5 also die 3 kann man in dieser Funktion nur durch -2 und 5 erreichen.

Jetzt der Beweis. Mit deiner Hilfestellung habe ich jetzt folgendes herausgefunden:

\(\phi\): GxG -> G    e Element von G

- \(\phi\) ist assoziativ, weil (a+b)+c = a+(b+c)

- \(\phi\) ist kommutativ, weil g+e = e+g =g     e=0 ??

-\(\phi\) ist nochmal die Eigenschaft kommutativ???, weil g+h = h+g=e. Sind dann h+g = 0??

Jetzt komme ich nicht weiter. Also wenn ich beweisen will, dass x=3 = -a +b eine Lösung hat, dann setze ich -2 und 5 ein.

Wenn ich beweisen will, dass x genau eine Lösung hat, dann setze ich x=3 = -2+1 und 5+1 ein. Das ist falsch.

Also wende ich die vollständige Induktion an. Aber wofür waren dann die Eigenschaften kommutativ , assoziativ??

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- \(\phi\) ist assoziativ, weil (a+b)+c = a+(b+c)

Nein.

\(\phi\) ist assoziativ, weil \(\phi(a,\phi(b,c)) = \phi(\phi(a,b),c)\) für alle \(a,b,c\in G\) ist.

\(\phi\) ist nicht die Addition. Die Addition habe ich nur als Beispiel gewählt um zu verdeutlichen, dass einige Regeln, die für \(\phi\) gelten, dir von der Addition bekannt sind. Das heißt aber nicht, dass alle Regeln der Addition auch für \(\phi\) gelten.

- \(\phi\) ist kommutativ, weil g+e = e+g

Nein.

\(\phi\) wäre kommutativ, wenn \(\phi(a,b) = \phi(b,a)\) für alle \(a,b\in G\) gelten würde.

In der Aussage "\( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \)" kann \(g\) zwar jedes beliebige Element aus \(G\) sein, aber \(e\) eben nicht. \(e\) ist das eingangs der Aufgabenstellung vorgegebene Element von \(G\).

Aus gleichem Grund sagt auch "g+h = h+g=e" nicht aus, dass \(\phi\) kommutativ ist.

e=0 ??

Ja, wenn man \(G = \mathbb{Z}\) und \(\phi = +\) verwendet, dann ist \(e=0\).

Jetzt komme ich nicht weiter.

\(-a+b\) ist eine Lösung der Gleichung \(a+x=b\) wegen Probe:

Linke Seite.

        \(\begin{aligned} &  &  & a+x\\ & \text{Einsetzen} & =\, & a+\left(-a+b\right)\\ & \text{Assoziativgesetz} & =\, & \left(a+\left(-a\right)\right)+b\\ & \text{Eigenschaft der Gegenzahl} & =\, & 0+b\\ & \text{Eigenschaft der }0 & =\, & b\end{aligned}\)

Rechte Seite.

        \(b\)

Das wird jetzt auf die drei Regeln

• (A) \( \phi(\phi(a, b), c)=\phi(a, \phi(b, c)) \) für alle \( a, b, c \in G \)
• (N) \( \phi(g, e)=\phi(e, g)=g \) für alle \( g \in G \)
• (I) für alle \( g \in G \) gibt es ein \( h \in G \), so dass \( \phi(g, h)=\phi(h, g)=e \)

verallgemeinert. Dazu definiere ich mir erst ein mal eine Funktion

        \(\iota:\ G\to G\)

die jedem \(g\in G\) ein \(\iota(g)\) zuordnet, so dass

        \(\phi(g,\iota(g)) = \phi(\iota(g),g)=e\)

ist. Ein solches \(\iota(g)\) existiert ja wegen (I).

Dann ist

        \(x=\phi(\iota(a),b)\)

eine Lösung der Gleichung \( \phi(a, x)=b \).

Beweis.

        \(\begin{aligned} &  &  & \phi\left(a,x\right)\\ & \text{Einsetzen} & =\, & \phi\left(a,\phi\left(\iota\left(a\right),b\right)\right)\\ & \text{(A)} & =\, & \phi\left(\phi\left(a,\iota\left(a\right)\right),b\right)\\ & \text{(I)} & =\, & \phi\left(e,b\right)\\ & \text{(N)} & =\, & b \end{aligned}\)

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Ich habe deine Antwort jetzt komplett nachvollziehen können. Sobald man die Lösung sieht wird einem alles klar, nur auf die Lösung zu kommen ist halt die Schwierigkeit.

Das einzige was ich mich nun frage ist, wieso sollte man eine Matheaufgabe so komplex verpacken nur um am Ende zu realisieren wie simpel sie eigentlich ist, wenn man endlich durchblicken kann.

Naja wenigstens weiß ich jetzt ein bisschen mehr, danke.

Answer 2

\(\phi\) ist nicht die leere Menge \(\emptyset\), sondern eine

Abbildung \( G\times G\rightarrow G\), also eine Verknüpfung.

Comments

Achso ok, dann ergibt das schon mehr Sinn.

Also laut der Aufgabe ist M dann das doppelte von G, weil G x G = M?

Und M wird ja auf G abgebildet

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ist M dann das doppelte von G, weil G x G = M?

Nein, M ist das kartesische Produkt von G mit sich selbst, also die Menge aller Paare \((a,b)\) mit \(a\in G\) und \(b\in G\).