Übungsaufgabe Beweis De Morgan

Question

Aufgabe:

Es sei M ein Mengensystem auf einer Menge X. Beweisen Sie:

Text erkannt:

(a) \( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c}=\bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \),
(b) \( \left(\bigcap_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c}=\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \).

Answer 1

\( \mathcal{M} \) ist ja wohl das Mengensystem.

\( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c}=\bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)

Musst du in 2 Teilen beweisen:

1.  \( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} ⊆ \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)

2. \( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} ⊇ \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)

Der 1. Teil etwa so:

Sei \( x \in \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} \)

==>   x∈X und \( x \notin \bigcup_{M \in \mathcal{M}} M \)

==>  x∈X und für alle \(M \in \mathcal{M}\) gilt \( x \notin M \)

==>  Für alle \(M \in \mathcal{M}\) gilt \( x \in M^{c} \)

==>  \( x \in \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)  q.e.d.

Answer 2

Tipp:

Benutze die DeMorgansche Regel für die Quantoren \(\forall,\; \exists\; \):

Ist \(P\) ein Prädikat für Mengen, dann gilt:

\(\lnot \exists M: \; P(M) \iff \forall M:\; \lnot P(M)\).

Beispiel für ein solches \(P\)  ist

\(P(M)\iff x\in M\).