Ungleichung mit Summen Induktionsbeweis

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(b) \( a^{n}-2^{n} \geqq \sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( a \in \mathbb{R} \) mit \( a \geqq 3 \).

Hallo Leute, ich muss bei der Aufgabe einen Induktionsbeweis aufstellen, aber leider fehlt mir jeglicher Ansatz oder Vorgehensweise.

Problem/Ansatz:

Also als erstes kommt der Induktionsanfang mit n=1, was dann aufgeht.

Answer 1

Also als erstes kommt der Induktionsanfang mit n=1, was dann aufgeht.✓

Dann: Angenommen es gilt für ein n∈ℕ (unter den Vor'en)

\( a^{n}-2^{n} \geqq \sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \)    bzw.   \( a^{n} \geqq 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \)

Da a>0 folgt

==> \( a^{n+1}=a \cdot a^n \geqq a\cdot(2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k})  \)

                               \(= a\cdot 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)

wegen a≥3 gilt       \( \geqq  3\cdot 2^n+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)

                             \(= 2^n+2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k} \)

            \(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k}    +2^na^0\)

             \(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n} a^{n-k} 2^{k}  \)

                    \(= 2^{n+1}+\sum \limits_{k=0}^{n} a^{(n+1)-1-k} 2^{k}  \)  q.e.d.

Comments

Hey Vielen Dank für deine Antwort, die ist hilfreich. Was passiert nach dem Schritt wo die a^0 vorkommt, wie verschwindet 2^n a^0 ?

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Die Summe \(\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k} 2^{k}  \)

geht ja nur bis k=n-1.

Der Summand für k=n ist a^02^n , der steht dahinter.

Wenn man (wie bei meinem nächsten Schritt) die Summe

bis n laufen lässt, steckt er mit in der Summe und muss(darf)

also nicht mehr dahinter geschrieben werden.

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@Iron: Man kann beim Induktionsschritt auch links mit der Summe anfangen. Das ist vielleicht etwas 'gefälliger':$$\begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{n} a^{n-k} 2^{k} &= a\sum \limits_{k=0}^{n} a^{n-1-k} 2^{k} \\ &= a\left(\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \space + a^{-1}2^{n}\right) \\ &= a\left(\sum \limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} 2^{k} \right)\space + 2^{n} \\ &\le a\left(a^{n}-2^{n}\right) + 2^{n} \\ &= a^{n+1} - \underbrace{(a-1)}_{\ge2} 2^{n} \\ &\le a^{n+1} - 2 \cdot 2^{n} \\&= a^{n+1} - 2^{n+1} \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Answer 2

Eigentlich geht ein direkter Beweis, den man nachträglich noch pro Forma in einen Induktionsbeweis überführen kann.

Es gilt (bekanntermaßen?) \( \frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+a^1b^{n-2}+b^{n-1} \).

Im konkreten Fall b=2 wird daraus

\( \frac{a^n-2^n}{a-2}=a^{n-1}+a^{n-2}\cdot 2+a^{n-3}\cdot 2^2+\cdots +a^2\cdot 2^{n-3}+a^1\cdot 2^{n-2}+2^{n-1} \), wobei der rechte Term dem rechten Term in der Ungleichung entspricht.

Die zu beweisende Ungleichung nimmt damit die Form

\( a^n-2^n\ge\frac{a^n-2^n}{a-2} \) an und gilt für a≥3 tatsächlich.