Exponentielle Änderung Rate

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

21 Ein Medikament wird einem Patienten per Tropfinfusion zugeführt. Dadurch verändert sich die Wirkstoffmenge des Medikaments im Körper des Patienten. Zu Beginn der Verabreichung ist die im Körper vorhandene Wirkstoffmenge des Medikaments \( 0 \mathrm{mg} \).
Die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut ist gegeben durch die Funktion \( f \) mit \( f(t)=3 e^{-0,04 t} ; t \geq 0 \) ( \( t \) in Minuten seit Verabreichung des Medikaments, \( f(t) \) in \( \mathrm{mg} / \mathrm{min} \) ).
a) Zu welchem Zeitpunkt ist die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut maximal?
b) Wann ändert sich die Wirkstoffmenge im Blut um weniger als \( 0,01 \mathrm{mg} / \mathrm{min} \) ?
c) Wie hoch ist die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten 3 Minuten nach Verabreichung?
d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Wirkstoffmenge in den ersten 10 Minuten.
e) Bestimmen Sie einen integralfreien Term, mit dem sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten zum Zeitpunkt \( t \) berechnen lässt.
f) Zeigen Sie, dass die Ånderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut stets abnimmt, aber die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt.

Problem/Ansatz:

Ich habe gar keine Ahnung wie man das alles macht. Wie geht man bei allen Aufgaben vor?

Comments

Also z.B die c) ist wirklich einfach.

Versuch mal einen Zusammenhang zwischen der Bedeutung der Variablen f und f(t) (Wofür stehen diese?) und der Frage c herzustellen.

Tipp: Du kannst irgendwo etwas einsetzen ;)

Answer 1

a) Zu welchem Zeitpunkt ist die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut maximal?

Da f(t) streng monoton fallend ist (wie wir in f) noch zeigen werden) bei t = 0.

b) Wann ändert sich die Wirkstoffmenge im Blut um weniger als 0.01 mg/min?

f(t) = 3·e^(- 0.04·t) = 0.01 → t = 142.6 min

c) Wie hoch ist die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten 3 Minuten nach Verabreichung?

∫ (0 bis 3) f(t) dt = 8.481 mg

d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Wirkstoffmenge in den ersten 10 Minuten.

1/10·∫ (0 bis 10) f(t) dt = 2.473 mg/min

e) Bestimmen Sie einen integralfreien Term, mit dem sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten zum Zeitpunkt t berechnen lässt.

F(t) = ∫ (0 bis t) f(x) dx = 75 - 75·e^(- 0.04·t)

f) Zeigen Sie, dass die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut stets abnimmt, aber die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt.

f'(t) = - 0.12·e^(- 0.04·t) < 0 für alle t
F'(t) = 3·e^(- 0.04·t) > 0 für alle t