Aufgaben zur Exponentialfunktion: Nullstellen von f(x) = e^x-e^{-x}

Question

wir nehmen momentan die Exponentialfunktion in der Schule durch.
Jetzt haben wir Hausaufgabe aufbekommen, bei der ich bei einigen Aufgaben nicht weiterkomme.
1. Bestimmen sie die Nullstellen von e^x-e^{-x}

Also von einer Wertetabelle weiß ich, dass die Nullstelle 0 sein muss. Wie kann ich das denn rechnerisch lösen? Würde hier versuchen etwas auszuklammern. Bin mir aber nicht sicher wie das funktionieren soll.

2. Leiten sie ab:

f(x)= (2-ax)*e^{-ax}

h(x)= (e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})

Zu f(x): Welche Regel muss ich hier anwenden? Produktregel? Wenn ja, wie genau soll das mit der Klammer gehen?

Zu h(x): Also den ersten Ableitungsschritt habe ich bereits. Jetzt müsste ich die Klammer ausmultiplizieren zum vereinfachen. Wie stell ich das an, wenn ich z.B. e^x * e^{-x} multiplizieren will?

Würde mich über Hilfe freuen.

Comments

Du solltest die Exponenten nach ^ jeweils in Klammern setzen. Ich versuche das mal zu flicken. Schau in ein paar Minuten nochmals rein, ob das so aussieht, wie du das meinst.

e^x * e^-x  = e^ (x + (-x)) = e^{x-x} = e^0 = 1

Aber du hast dort (noch) gar kein 'mal'. h(x) ist der sogenannte Tangens hyperbolicus. Du musst / kannst ihn nach der Quotientenregel ableiten.

---

Viel Dank für die schnelle Antwort. Passt alles so, wie du es geändert hast.
Also h(x) hab ich bereits über die Quotientenregel abgelitten. Dadurch entsteht doch im zweiten Schritt eine Multiplikation.

---

Das Ergebnis kannst du hier kontrollieren: https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus

---

Muss  ich den bei f(x) die Produktregel anwenden?

---

Ja. Du kannst so vorgehen, wie eh68 vorschlägt.

---

Ok, vielen Dank. Werds mal probieren.

---

2. Leiten sie ab:
allgemein
( u * v ) ´ = u´ *  v + v´* u
f ( x ) = ( 2 - a*x ) * e^-(ax)
f ( x ) ´ =  -a * e^{-ax} + ( 2 - a*x ) * e^{-ax} * (-a)
f ( x ) ´ = -a * e^{-ax } * (  1 + 2 - ax )
f ( x ) ´ = -a * e^{-ax } * (  3 - ax )
f ( x ) ´ =  a * e^{-ax } * (  ax  - 3 )

 mfg Georg
 

Answer 1

1. e^x-e^^-x=0

e^x=e^-x

Exponentenvergleich:

x=-x

2x=0

x=0


2.

für f(x):

u(x)=2-ax

u´(x)=-a

v(x)=e^-ax

v´(x)= -a* e^-ax


für h(x): Quotientenregel verwenden, wobei gilt:

u´(x)=e^x+e^-x

v´(x)=e^x-e^-x