Bestimmung von r, Bestimmung der Ebene und Bestimmung des Volumens.

Question

Gegeben sind die Raumpunkte A (4,2,1), B (4,5,1), C (-4,2,7) und Dr ( 4r+1  ,r , -3r ) ( r element von R)

a,  Es gibt genau ein r element von R, so dass das Dreieck ABDr gleichschenklig ist. Wie kann ich dieses r bestimmen und was ist das r dann ?

b,   Bestimmen sie eine Gleichung der Ebene E, welche die Punkte A, B, C enthält ! Wie sieht die Normalengleichung dazu aus ?
c,  Bestimmen sie das Volumen Vr der Pyramide ABCDr ! Erwartetes Ergebnis: Vr = 13 für alle r element von R . Dieses Ergebnis soll dann noch kommentiert werden und geometrisch gedeutet werden

HILFE !! :O

Answer 1

Gegeben sind die Raumpunkte A (4,2,1), B (4,5,1), C (-4,2,7) und Dr (4r+1, r , -3r) ( r element von R)

a,  Es gibt genau ein r element von R, so dass das Dreieck ABDr gleichschenklig ist. Wie kann ich dieses r bestimmen und was ist das r dann ?

AB = [0, 3, 0]
|AB| = 3

AD = [4·r - 3, r - 2, - 3·r - 1]
|AD| = √(26·r^2 - 22·r + 14)

BD = [4·r - 3, r - 5, - 3·r - 1]
|BD| = √(26·r^2 - 28·r + 35)

|AB| = |AD|
3 = √(26·r^2 - 22·r + 14)
r = Keine Lösung

|AB| = |BD|
3 = √(26·r^2 - 28·r + 35)
r = Keine Lösung

|AD| = |BD|
√(26·r^2 - 22·r + 14) = √(26·r^2 - 28·r + 35)
r = 3,5

 

Comments

b,   Bestimmen sie eine Gleichung der Ebene E, welche die Punkte A, B, C enthält ! Wie sieht die Normalengleichung dazu aus ?

AB = [0, 3, 0]

AC = [-8, 0, 6]

x = [4, 2, 1] + r * [0, 3, 0] + s * [-8, 0, 6]

n = [0, 3, 0] x [-8, 0, 6] = [18, 0, 24] = 6 * [3, 0, 4]

(x - [4, 2, 1]) * [3, 0, 4] = 0

---

c,  Bestimmen sie das Volumen Vr der Pyramide ABCDr ! Erwartetes Ergebnis: Vr = 13 für alle r element von R . Dieses Ergebnis soll dann noch kommentiert werden und geometrisch gedeutet werden

AB = [0, 3, 0]

AC = [-8, 0, 6]

AD = [4·r - 3, r - 2, - 3·r - 1]

Vr = 1/6 * (AB x AC) * AD = 1/6 * [0, 3, 0] x [-8, 0, 6] * [4·r - 3, r - 2, - 3·r - 1]

Vr = 1/6 * [18, 0, 24] * [4·r - 3, r - 2, - 3·r - 1]

Vr = -13

Das Volumen ist also 13. Und da es proportional zu Grundfläche * Höhe ist muss die Höhe immer gleich sein und damit Die Gerade mit den Punkten Dr parallen zur Ebene durch A, B und C sein.