Abzählbarkeit mit Bijektion zeigen...

Question

ich lerne gerade für eine Klausur nächste Woche und das Thema Abzählbarkeit bereitet mir immer noch starke Probleme. Wir haben eine Probeklausur bekommen und darin gab es folgende Aufgabe:

Zeigen Sie durch Angabe einer bijektiven Abbildung f: ℕ→M, dass die Menge M = {m∈ℤ: |m|=k², k∈ℕ} aller ganzen Zahlen, deren Betrag eine Quadratzahl ist, abzahlbar ist. Sie brauchen nicht zu beweisen, dass f bijektiv ist.

Ich stehe völlig auf dem Schlauch und weiß einfach nicht, was die von mir wollen. Kann mir das vielleicht jemand ganz einfach erklären?

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Die Abb. $$g: \mathbb N \to \mathbb N^2, \quad n \mapsto n^2$$ ist eine Bijektion. (Die Zielmenge bezeichnet hier, mit leicht missbräuchlicher Notation, die Menge aller Quadratzahlen in IN). Dies nutzen wir aus um die gesuchte Abb. zu konstruieren: $$f:\mathbb N \to M,\quad n \mapsto \begin{cases} g(\frac{n}{2}) &\text{falls } n \text{ gerade}\\ -g(\frac{n+1}{2}) &\text{falls} n \text{ ungerade}\end{cases}$$.

Comments

Danke schonmal für die Antwort. Aber ich verstehe trotzdem nicht so ganz, wieso gerade diese Bijektion jetzt die Lösung für das Problem ist. Kommt das daher, dass |m| = k² ?

Kennst du zufällig so ähnliche Aufgaben, mit denen ich noch üben könnte?

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Mein Hintergedanke war, dass M eine fast disjunkte Vereinigung von IN² und -IN² ist. Vielleicht ist es als Übung ganz sinnvoll nachzurechnen, dass es eine Bijektion ist. Und es gibt sehr viele andere Bijektionen zwischen den beiden Mengen, es ist nur die, die mir als erstes in den Sinn kam.