Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene auf?

Question

Aufgabe: Gegeben sind die Ebene E: x: (3/2/0)+rx(0/-2/2)+sx(-3/0/2) sowie der gerade g:X=(3/2/1)+tx(-3/2/0).

Die X stehen hier für mal.

a) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf.
b) Wie lauten die Schnittpunkte X, Y und Z der Ebene E mit den Koordinatenachsen?
«) In welchen Punkten A und B schneidet die Gerade g die x-2-Ebene bzw. die x y Ehene?
d) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E.

Problem/Ansatz:

Bitte helft mir gerne auch mit Lösungen und Erklärungen, weil ich echt überhaupt nicht weiterkomme und bald mein Probe Abi stattfindet. Bitte helft mir ich brauche bei allen Aufgaben wirklich große Hilfe.Danke!!

Answer 1

Hallo

bitte vermeide das x als Malzeichen das irritiert sehr , nichts oder das * der Tastatur.

Koordinatengleichung $$\vec{n}*\vec{x}=d$$

deshalb einen Normalenvektor  bilden : Kreuzprodukt  der 2 Richtungsvektoren, dann hast du a,b,c in ax+by+cz=d und setzest einen Punkt der Ebene ein um d zu bestimmen, anderer Weg in ax+by+cz=d 3 Punkte der Ebene einsetzen  (einen der Buchstaben beliebig wählen. )

b) x und y Koordinate 0 setzen ergibt  Schnittpunkt mit z-Achse entsprechend die anderen.

c) ist ja wohl einfach G parallel oder schneidend oder in der Ebene,

Comments

Welche richtungsvektoren nehme ich denn

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hallo

in der Ebenengleichung stehen doch nur 2 welche kennst du denn noch?

lul

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Wenn ich die spurpunkte in b.) hab, wie komme ich dann auf das Ergebnis in c.)?

Ich weiß wirklich nicht was man da rechnen muss

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wie komme ich dann auf das Ergebnis in c.)? Ich weiß wirklich nicht was man da rechnen muss

Hilft Dir das weiter, wenn Du Dir das in 3D ansehen kannst?

(klick auf das Bild!)

Answer 2

Hallo,

der Normalenvektor sei n=[a,b,c].

Die Skalarprodukte n•u und n•v müssen gleich Null sein.

0a-2b+2c=0 → b=c

-3a+0b+2c=0 → 3a=2c

Sei a=2 → c=3, b=3

n=[2,3,3]

2x+3y+3z=2•3+3•2+3•0=12

--> E: 2x+3y+3z=12

:-)

Answer 3

a) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf.

k·n = [0, -2, 2] ⨯ [-3, 0, 2] = - 2·[2, 3, 3]

E: 2·x + 3·y + 3·z = 12

b) Wie lauten die Schnittpunkte X, Y und Z der Ebene E mit den Koordinatenachsen?

[6, 0, 0] ; [0, 4, 0] ; [0, 0, 4]

c) In welchen Punkten A und B schneidet die Gerade g die x-z-Ebene bzw. die x-y-Ebene?

[3, 2, 1] - 1·[-3, 2, 0] = [6, 0, 1]

Die x-y-Ebene wird nicht geschnitten, da z immer 1 ist.

d) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E.

2·(3 - 3·r) + 3·(2·r + 2) + 3·(1) = 12 → 15 = 12 → Die Gleichung ist nicht wahr, daher liegt die Gerade parallel zur Ebene.

Comments

Hallo mathecouch, vielen Dank für deine Lösungen. Magst du mir noch erklären wie du dazu gekommen bist?a.)  konnte ich mittlerweile alleine lösen aber b.)  bekomme ich schon wieder nicht weiter. Wie löse ich das denn jetzt?

Lg

Bitte Lösungsweg

Dankeee

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Wie kommst du auf die Lösungen von b?

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Wie kommst du auf die Lösungen von b?

Setze in die Ebenengleichung 2·x + 3·y + 3·z = 12 für zwei Koordinaten Null ein und löse zur dritten unbekannten auf.

Alternativ. Teile durch 12 und du erhältst die Achsen-Abschnitts-Form.

x/6 + y/4 + z/4 = 1

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Wenn ich die spurpunkte in b.) hab, wie komme ich dann auf das Ergebnis in c.)?
Ich weiß wirklich nicht was man da rechnen muss

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Die Ebene in b) hat mit der Geraden von c) doch nichts zu tun. D.h. du musst aus der Geradengleichung die Spurpunkte ausrechnen, indem du immer eine Koordinate gleich 0 setzt.

Schnitt mit der xy-Ebene bedeutet z = 0 usw.