hamming code erzeugermatrix und prüfmatrix

Question

Text erkannt:

Aufgabe 14 (8 Punkte). Stellen Sie für den binären \( [n, k, d]=[15,11,3] \)-Hamming-Code die Erzeugermatrix \( E \) und die Prüfmatrix \( P \) in der Form
\( E=\left(\mathbb{I}_{k} \mid A\right) \quad P=\left(-A^{T} \mid \mathbb{I}_{n-k}\right) \)
auf. Kodieren Sie den Vektor
\( (1,1,0,0,1,0,1,0,1,1,1) . \)

Fälschen Sie das Ergebnis ab, indem Sie ein beliebiges Bit verändern. Berechnen Sie anschließend das Syndrom und überprüfen Sie, dass es zum abgeänderten Bit korrespondiert (d.h. in der entsprechenden Spalte der Matrix \( P \) auftaucht).

Answer 1

Dir ist schon klar, dass unterschiedliche Autoren auch unterschiedliche Algorithmen verbreiten.

Ich hatte mal nach folgender Vorlage

https://hwlang.de/algorithmen/code/hamming.htm

gearbeitet - da werden die Einheitsmatrizen allerdings nach rechts sortiert -

und komme auf P

\(\scriptsize H_{15,4}=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr}0&0&0&0&0&0&0&1&1&1&1&1&1&1&1\\0&0&0&1&1&1&1&0&0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&0&0&1&1&0&0&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\\end{array}\right)\)

und E

\(\scriptsize G \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr}1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1&0\\1&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

Hast Du Ergebnisse? Berichte mal ob meine Matrizen funktionieren - ohne Gewähr....

Comments

Falls Du noch Interesse hast, ich hab inzwischen die Unterschiede der Verfahren ausgearbeitet. In meiner Version stehen die Parity-Bits an den Positionen 2^k und bei dem oben angesprochenen Verfahren werden sie an den Rand geschoben.

Mein Verfahren hat den Vorteil das die Prüfmatrix die Nummer des fehlerhaften Bits anzeigt und bei dem obigen Verfahren wird die H-Spalte des fehlerhaften Bits berechnet und muss dann in der Prüfmatrix H gesucht werden.