Upload failed: [object Object]
Text erkannt:
Hausübungen
Aufgabe H 6. Polynome, Binomischer Lehrsatz
(a) Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von \( \left(x^{4}+2\right)\left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27\right) \).
(b) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung \( x^{4}-20 x^{2}+5=4 x^{2}+30 \).
(c) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Ungleichung \( \left(x^{2}+8 x+16\right)\left(4 x^{2}+4 x-3\right)<0 \).
(d) Zeigen Sie, dass \( 2 x^{1984}+3 x^{2}-30 x+81 \) keine reellen Nullstellen besitzt.
Aufgabe H 7. Ungleichungen und Beiträge
Bestimmen Sie jeweils die Menge aller reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erfüllen:
(a) \( -2|x-2|<x^{2}(x-2) \)
(b) \( \frac{x^{2}-2 x-2}{3 x^{2}+4 x-4} \leqq \frac{1}{3} \)
(c) \( \left|x^{2}+2 x-3\right|+1>|x+3|+|x-1| \)
Aufgabe H 8. Mengen
(a) Skizzieren Sie die folgenden Mengen:
\( \begin{array}{ll} M_{1}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}|| y \mid>1\right\}, & M_{3}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \leqq 9\right\}, \\ M_{2}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y+2>-3 x\right\}, & M_{4}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid\left(x^{2}-y \leqq 1\right) \vee\left(y+x^{2} \leqq\right.\right. \end{array} \)
(b) Skizzieren Sie die Schnittmenge \( M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} \).
Aufgabe H 9. Ungleichungen
(a) Für welche \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \) gilt \( \left(5 x+y^{3}+2 z^{2}\right)^{2} \leqq 30\left(x^{2}+y^{6}+z^{4}\right) \) ?
Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.
(b) Zeigen Sie, dass \( 2 x y \leqq(x+y) \sqrt{x y} \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}_{0}^{+} \)gilt.
(c) Seien \( y_{1}, y_{2}, \ldots \) positive reelle Zahlen und sei \( \mu_{N}:=\frac{1}{N} \sum \limits_{j=1}^{N} y_{j} \) für alle \( N \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( y_{N+1}\left(\mu_{N}\right)^{N} \leqq\left(\mu_{N+1}\right)^{N+1} \) für alle \( N \in \mathbb{N} \) gilt.
Hinweis: Benutzen Sie die Bernoulli-Ungleichung mit \( n=N+1 \) und \( x=\frac{\mu_{N+1}}{\mu_{N}}-1 \).
Aufgabe H 10. Vollständige Induktion
Zeigen Sie die folgende Aussage mittels vollständiger Induktion:
\( \prod \limits_{k=0}^{n} \cos \left(2^{k} x\right)=\frac{\sin \left(2^{n} x\right) \cos \left(2^{n} x\right)}{2^{n} \sin (x)} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0} . \)
Hinweis: Dabei dürfen Sie die folgende Gleichung, die für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, ohne Beweis benutzen: \( \sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x) \).
Aufgabe:
…
Problem/Ansatz:
