die Varianz der Rendite des Portfolios, welches aus zwei Teilen aus dem ersten, fünf Teilen aus dem zweiten und drei …

Question

Aufgabe:

Für die Renditen X, Y und Z dreier Wertpapiere gelte: E(X) = 30, E(Y ) = 50, E(Z) = 70, Var(X) = 14, Var(Y) = 16, Var(Z) = 22, sowie σX,Y = Cov(X,Y) = −2, σX,Z = 4 und σY,Z = −0.5. Wie groß ist
a) die erwartete Rendite und

b) die Varianz der Rendite des Portfolios, welches aus zwei Teilen aus dem ersten, fünf Teilen aus dem zweiten und drei Teilen aus dem dritten Wertpapier zusammengestellt ist?

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten das Gesamtportfolio:\(\quad P=2X+5Y+3Z\).

zu a) Der Erwartungswert ist linear:$$E(P)=E(2X+5Y+3Z)=2E(X)+5E(Y)+3E(Z)=520$$

zu b) Zur Berechnung der Varianz \(V(P)=C(P;P)\) kannst du ausnutzen, dass die Covarianz \(C\) eine Bilinearform ist, d.h. sie ist in beiden Argumenten linear. [Du kannst die beiden Argumente der Covarianz quasi miteinander "ausmultiplizieren" wie du es mit 2 geklammerten Termen tun würdest]

Mit Termen würde gelten:$$\small(2X+5Y+3Z)\cdot(2X+5Y+3Z)=4X^2+20XY+12XZ+25Y^2+30YZ+9Z^2$$

Übertragen auf die Varianz \(V\) bzw. die Covarianz \(C\) heißt das:

$$\small V(P)=C(P;P)=C(2X+5Y+3Z;2X+5Y+3Z)$$$$\small\phantom{V(P)}=4C(X;X)+20C(X;Y)+12C(X;Z)+25C(Y;Y)+30C(Y;Z)+9C(Z;Z)$$$$\small\phantom{V(P)}=4V(X)+20C(X;Y)+12C(X;Z)+24V(Y)+30C(Y;Z)+9V(Z)$$

Die Freude am Einsetzen der Werte möchte ich dir nicht nehmen ;)

Answer 2

Da Portfolio ist \(P = 2X+5Y+3Z\).

Jetzt musst du nur noch die Formeln für Erwartungswert und Varianz anwenden. Bei der Varianz musst du die Kovarianzen berücksichtigen. Die Formel findest du hier.

Wo ist dein Problem?