Satz von Green bestätigen

Question

Aufgabe:

Bestätigen Sie den Satz von Green für die Funktion

f : R²→ R², f(x,y):= (y²,3xy)
und für das Gebiet

D:= {(x,y)∈R² , -1≤x≤1, 0≤y≤\( \sqrt{1-x²} \),

welches durch die Kurve C := C1 ∪ C2 (siehe Skizze) umschlossen wird.

In der Skizze ist ein Halbkreis abgebildet und zwei Pfeile laufen die Kurve gegen den Uhrzeigersinn entlang.
Problem/Ansatz:

Ich muss erstmal eine Parametrisierung der Kurve durchführen. Die Kurve ist ein Halbkreis, d.h. Polarkoordinaten? und weil es nur ein Halbkreis ist von 0 bis π. Ist das richtig? Wie genau führt man die Parametrisierung durch und was muss man mit der Parametrisierung machen?

Comments

Was ist denn \(C_1\) und \(C_2\)? Ist das ein Halbkreis inklusive der Strecke \(-1\leq x \leq 1\)?

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Hier das Bild von C1 und C2:

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Schreib doch mal den Satz von Green hierhin, damit wir eine Grundlage für die Bezeichnungen haben.

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Text erkannt:

\( \oint_{C}\langle f(x), d x\rangle=\int \limits_{D} \cot f(x) d x \).

Answer 1

Ich geb dir mal die Parametrisierungen und die Integrale, die du aber selbst nachrechnen darfst.

\(\operatorname{rot}f(x,y) = 3y-2y= y\)

\(\int_D \operatorname{rot}f(x,y) d(x,y) = \int_{x=-1}^1\int_{y=0}^{\sqrt{1-x^2}}y\,dy \, dx =\frac 12 \int_{x=-1}^1 (1-x^2)\, dx =\frac 23\)

\(C_1:\, (\cos t, \sin t),\: t\in [0,\pi]\)

\(C_2:\, (x, 0),\: x\in [-1,1]\)

\(\int_{C_1}y^2\,dx + 3xy\, dy = \int_0^{\pi}(\sin^2t(-\sin t) + 3\cos t \sin t \cos t ) \, dt = \frac 23\)

\(\int_{C_2}y^2\,dx + 3xy\, dy = \int_{-1}^{1}0\, dx + 0\,dy = 0\)