Aloha :)
Für \(x<1\) ist \(\ln(x)<0\). Damit können wir das Integral so aufteilen, dass die Betragsstriche wegfallen:$$I=\int\limits_{1/e}^e\frac{|\ln x|}{x}\,dx=\int\limits_{1/e}^1\frac{|\ln x|}{x}\,dx+\int\limits_{1}^e\frac{|\ln x|}{x}\,dx=\int\limits_{1/e}^1\frac{-\ln x}{x}\,dx+\int\limits_{1}^e\frac{\ln x}{x}\,dx$$$$\phantom I=-\int\limits_{1/e}^1\frac1x\ln x\,dx+\int\limits_1^e\frac1x\ln x\,dx$$
Die beiden Integrale sind ein Standardintegral der Form$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac12f^2(x)+\text{const}$$mit \(f(x)=\ln(x)\). Daher können wir sofort hinschreiben:$$I=\left[-\frac12\ln^2(x)\right]_{1/e}^1+\left[\frac12\ln^2(x)\right]_1^e=\frac12\ln^2\left(\frac1e\right)+\frac12\ln^2(e)=\frac12+\frac12=1$$
