Berechnen Sie den Schnittwinkel ϒ der Ebenen E1 und E2.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Schnittwinkel ϒ der Ebenen E1 und E2. Bestimmen Sie zunächst Nor-malenvektoren beider Ebenen.

a) \( E_{1}:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 6\end{array}\right)=0, \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}4 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}0 \\ -2 \\ 2\end{array}\right) \)
b) \( E_{1}: 2 x-3 y+6 z=12, \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 7\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ 4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) \)

Wie löse ich das

Comments

Da du nicht noch einmal reagiert hast und schon eine neue Aufgabe einstellst:

Du bist also mit https://www.mathelounge.de/1044286/berechnen-sie-den-schnittpunkt-s-und-den-schnitt-winkel-g klargekommen?

Das freut mich.

Answer 1

Berechne erstmal die Normalenvektoren:

a) Bei \(E_1\) kann man ihn ablesen, da die Ebene in Normalform gegeben ist. Bei \(E_2\) berechnet man das Kreuzprodukt der Spannvektoren.

b) Bei \(E_1\) kann man ihn ebenfalls ablesen, weil die Koeffizienten vor den Variablen die Einträge des Normalenvektors sind (Koordinatenform).

Wenn du die Normalenvektoren hast, berechnest du mit der Formel für Winkel den Winkel zwischen den Normalenvektoren.

Die Formel lautet \(\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\right)\). Dabei steht im Zähler das Skalarprodukt der Vektoren und im Nenner das Produkt der Längen der Vektoren.

Comments

Also es fällt mir echt schwer

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Was genau fällt dir schwer?

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Im Zähler sollte man den Betrag des Skalarproduktes nehmen, weil Ebenen ungerichtete Objekte sind. Oder man bildet im Falle eines stumpfen Winkels später den Nebenwinkel.

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Guter Punkt. Habe ich angepasst. :)

Leider wird die Formel in der Schule eher ohne Betrag gelehrt.

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Ich kann da nur für die Lehrer sprechen, die ich kenne und die Lehren die Formeln auch mit Betrag wie sie im Tafelwerk stehen, wenn es um ungerichtete Objekte wie Geraden und Ebenen geht.

Ansonsten wird man sicher erklärt haben, dass man ansonsten den Nebenwinkel nehmen muss. Aber das kann ja letztendlich auch jeder Lehrer machen, wie er will.

Es kann aber auch sein, dass es Lehrer gibt, die stumpfe Winkel bei der Berechnung des Schnittwinkels zwischen Ebenen zulassen.

Answer 2

Normalenvektor von E1 ist [-2, 3, 6]

Normalenvektor von E2 ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren. [4, 0, -2] ⨯ [0, -2, 2] = -4·[1, 2, 2]

Jetzt die Winkelformel anwenden

α = ARCCOS( |[-2, 3, 6]·[1, 2, 2]| / (|[-2, 3, 6]|·|[1, 2, 2]|) ) = 40.37°

Willst du b) mal alleine probieren? Zur Kontrolle bekomme ich gerundet 85° heraus.

Comments

Ich habe es versucht aber kommt was ganz anderes raus könnten sie mir die Lösungen von b vorrechnen

Danke

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Es wäre doch gut, wenn du mal sagst welche Normalenvektoren du benutzt. Vielleicht steckt dort schon ein Fehler.

Da die Winkelformel nachher gleich ist ist es wichtig, dass du das was ich vorgerechnet habe einmal nachrechnest ob du auch darauf kommst.

Einige stellen den Taschenrechner ins Bogenmaß und wundern sich das dann kein Winkel im Gradmaß heraus kommt.

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Ist normalen Vektor von b (4/0/-2) ?

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Nein, die Normalenvektoren sind

[2, -3, 6] und [1, 6, 2]

Wie kommst du auf deinen Normalenvektor?