Das ist meine Idee.
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Die folgende Auflistung 1)-8) enthält die Anzahl Möglichkeiten abhängig von der Anzahl vorkommender "echter" Paare (d.h. gleichfarbige Socken zusammen). \( \mathrm{n} \) ist die Anzahl Paare insgesamt, \( n-x \) die Anzahl "echter Paare" und \( x \) die Anzahl "unechter" Paare (also Paare, die sich aus zwei verschiedenfarbigen Socken zusammensetzen). Für die "echten" Paare gibt es jeweils \( \left(\begin{array}{l}n \\ x\end{array}\right) \) verschiedene Möglichkeiten. Für den Rest, also die "unechten" Paare, gibt es auch eine bestimmte Anzahl an Möglichkeiten. Wie ich auf diese gekommen bin, wird unten aufgezeigt. Diese Anzahl muss man mit \( \left(\begin{array}{l}n \\ x\end{array}\right) \) multiplizieren, um alle möglichen Kombinationen zu erhalten. Addiert man jeweils die Resultate erhält man die totale Anzahl an Möglichkeiten.
1) \( \mathrm{n} \) gleich \( =1 \)
2) \( n-1 \) gleich = existiert nicht
3) \( \mathrm{n}-2 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \)
4) \( n-3 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 3\end{array}\right) \)
5) \( \mathrm{n}-4 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 4\end{array}\right) \times 6 \)
6) \( n-5 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 5\end{array}\right) \times 22 \)
7) \( \mathrm{n}-6 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 6\end{array}\right) \times 130 \)
8) \( \mathrm{n}-7 \) gleich \( =\left(\begin{array}{l}n \\ 7\end{array}\right) \times 822 \)
\( 1+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times 6+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \times 22+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}\right) \times 130+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}\right) \times 822=2461 \)
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Hier ist die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen der «unechten» Paare. Unterschieden habe ich je nach Anzahl doppelt vorkommender Paare und wenn alle Paare unterschiedlich waren, danach, ob sich die Paare in 2 Gruppen unterteilen lassen, bestehend aus den gleichen Farben.
3) \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} \rightarrow 1 \) Möglichkeit
4) \( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{BC} \rightarrow 1 \) Möglichkeit
5) \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} / \mathrm{CD} / \mathrm{CD} \)
Für die Zusammenstellung von 2 Paaren, die je 2x vorkommen, gibt es \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten. \( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{BD} / \mathrm{CD} \)
Für die Zusammenstellung 4 unterschiedlicher Paare gibt es ebenso \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten.
\( \left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)=6 \)
6) \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} / \mathrm{CD} / \mathrm{CE} / \mathrm{DE} \)
Für die Zusammenstellung eines doppelten Paares gibt es \( \left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten. Bei den übrigen 3 Paaren gibt es danach nur noch eine Möglichkeit sie anzuordnen, so dass kein "echtes" Paar (zwei gleichfarbige Socken zusammen) entsteht.
\( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{BD} / \mathrm{DE} / \mathrm{CE} \)
Für die Zusammenstellung zweier unterschiedlicher Partner der As gibt es \( \left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten. Für die Zusammenstellung der restlichen 3 Paare gibt es nur \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)-1 \), also 2 Möglichkeiten, damit kein "echtes" Paar entsteht.
\( \left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2=22 \)
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7) \( A B / A B / C D / C D / E F / E F \)
Für die Zusammenstellung von 3 Paaren, die je \( 2 \times \) vorkommen, gibt es \( 5 \times 3 \) Möglichkeiten. \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} / \mathrm{CD} / \mathrm{CE} / \mathrm{DF} / \mathrm{EF} \)
Für die Zusammenstellung eines doppelten Paares gibt es \( \left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten.
\( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{DE} / \mathrm{DF} / \mathrm{BC} / \mathrm{EF} \)
Für die Zusammenstellung 6 unterschiedlicher Paare, von denen aber je 3 Farben auf 3 Paare verteilt wurden, gibt es \( \left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) \times 3 \) Möglichkeiten.
\( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{BD} / \mathrm{DE} / \mathrm{CF} / \mathrm{EF} \)
Für die restlichen Zusammenstellungen 6 unterschiedlicher Paare gibt es \( \left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)-2\right) \) Möglichkeiten.
\( 5 \times 3+\left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times 3+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right)-2\right)=130 \)
8) \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} / \mathrm{CD} / \mathrm{CD} / \mathrm{EF} / \mathrm{EG} / \mathrm{FG} \)
Für die Zusammenstellung von 2 Paaren, die je \( 2 x \) vorkommen, gibt es \( \left(\begin{array}{l}7 \\ 4\end{array}\right) \times 3 \) Möglichkeiten. \( \mathrm{AB} / \mathrm{AB} / \mathrm{CD} / \mathrm{CE} / \mathrm{DF} / \mathrm{FG} / \mathrm{EG} \)
Für die Zusammenstellung eines doppelten Paares gibt es \( \left(\begin{array}{l}7 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)-1\right) \)
Möglichkeiten.
\( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{BD} / \mathrm{CD} / \mathrm{EF} / \mathrm{EG} / \mathrm{FG} \)
Für die Zusammenstellung 7 unterschiedlicher Paare, von denen aber 4 Farben auf 4 Paare und 3 Farben auf 3 Paare verteilt wurden, gibt es \( \left({ }_{4}^{7}\right) \times 3 \) Möglichkeiten.
\( \mathrm{AB} / \mathrm{AC} / \mathrm{DE} / \mathrm{DF} / \mathrm{FG} / \mathrm{CG} / \mathrm{BE} \)
Für die Zusammenstellung 6 unterschiedlicher Paare gibt es \( \left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)-2\right) \) Möglichkeiten.
\( \left(\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times 3+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)-1\right)+\left(\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times 3+\left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right)-2\right)=822 \)
