Finden Sie eine Folge (a_{n}…

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge.
a) Finden Sie eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sodass die Folge \( \left(a_{n+1}-a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist, aber die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) divergiert.
b) Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge sodass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt: \( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq \frac{1}{n(n+1)} \). Zeigen Sie dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy-Folge ist.

Problem/Ansatz: Hallo alle zusammen!

Bezüglich dieser Aufgabe habe ich das Problem, dass ich nicht genau weiß welchen Ansatz ich wählen muss um auf die Lösung zu kommen. Ich habe jetzt zwei Stunden rumgekritzelt aber habe das Gefühl das ich einfach nur Zeit verschwende.

Hat jemand eine Idee wie ich da auf eine Lösung komme ? Danke schon einmal für die Hilfe!

Comments

Zwei weitere Beispiele zu a) \(a_n=\log(n)\) oder \(a_n=\sqrt n\).

---

zu b)

sei oBdA n>m, dann ist

\( |a_n - a_m|=|\sum\limits_{k=m}^{n-1}{( a_{k+1} - a_k)|} \leq \sum\limits_{k=m}^{n-1}|{ a_{k+1} - a_k|}\)
\(\leq \sum\limits_{k=m}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}= \sum\limits_{k=m}^{n-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} ) = \frac 1m - \frac 1n < \varepsilon\)

Answer 1

Klasssikerbeispiel für a) ist

\(a_n = \sum_{k=1}^n\frac 1k\)

b)
Es genügt zu zeigen, dass \(a_n\) konvergiert. Dann handelt es sich automatisch um eine Cauchy-Folge.

Nun ist

\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\)

Außerdem gilt

\(\sum_{k=1}^{n-1}|a_{k+1}-a_k| \leq \sum_{k=1}^{n-1}\frac 1{k(k+1)} =\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac 1k - \frac 1{k+1}\right) = 1-\frac 1n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 1\)

Damit ist \(\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k+1}-a_k)\) also (absolut) konvergent. D.h., es existiert

\(\lim_{n\to\infty}a_n =a_1 + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\)

Comments

Ach verdammt, wenn man es einmal sieht erscheint es so verständlich… Die Kunst ist wirklich da alleine drauf zu kommen.

Ich danke vielmals !!