Generischer Beweis mit Fallunterscheidung

Question

Wir betrachten die folgenden Gleichungen:
3^2 = 8+1 = 8•1+1

5^2 = 24+1 = 8•3+1

7^2 = 48+1 = 8•6+1

a) Formulieren Sie dieses Prinzip als Behauptung über alle natürlichen Zahlen.
b) Beweisen Sie die Behauptung mithilfe einer Fallunterscheidung. (Tipp: Definieren Sie eine ungerade Zahl \( n \) mithilfe der Variablen \( q \) und unterscheiden Sie die beiden Fälle: \( q \) gerade und \( q \) ungerade.)

Problem: Verstehe nicht wie das funktioniert

Answer 1

Ich denke, die Idee des Aufgabenstellers war folgendes:

\((2n+1)^2 = 8\cdot a_n + 1\),

wobei \(a_n\) vermutet und dann per direkter Berechnung zu bestätigen ist.
Selbst wenn man keine Vermutung findet, kann man \(a_n\) ausrechnen.

Hier kommt der Hinweis ins Spiel:

\(n=2q\):

\((2(2q)+1)^2 = \ldots = 8\cdot \underbrace{q(2q+1)}_{=\frac{n(n+1)}2}+ 1\)

\(n=2q+1\):

\((2(2q+1)+1)^2 = \ldots = 8\cdot \underbrace{(q+1)(2q+1)}_{=\frac{n(n+1)}2}+ 1\)

Damit haben wir direkt gezeigt:

\((2n+1)^2 = 8\cdot \frac{n(n+1)}2 + 1 = 4n(n+1)+1 \)

Hier eine numerische Illustration.

Comments

Das denke ich nicht, denn die Behauptung soll ja schon in a) aufgestellt werden. Es ist allerdings die Frage, ob der Ausdruck für die Dreieckszahlen ohne weiteres verwendet werden darf.

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@Apfelmännchen
Ich gebe dir bzgl. der Aufgabenstellung recht.

Bei a) muss zunächst eine Behauptung aufgestellt werden, was einigen wahrscheinlich schwerfallen wird.

Danach ist die Behauptung zu verifizieren.

Wenn man aber keine Behauptung unter a) gefunden hat, kann man immer noch versuchen, die Regel auszurechnen.

Die Aufgabe ist insofern schlecht gestellt, als a) bei Misserfolg dazu führen kann, dass man sich mit b) gar nicht mehr auseinandersetzt, obwohl man \(a_n\) - wie gezeigt - direkt ausrechnen kann.

Answer 2

\(9^2=80+1=8\cdot 10 +1\)

\(11^2=120+1=8\cdot 15+1\)

\(13^2=168+1=8\cdot 21 +1\)

Fällt dir kein Muster auf?

\(n^2 = ... =8\cdot ... +1\) mit \(n=2q+1\) als ungerade Zahl.

Comments

ah jetzt seh ich es, danke sehr. wie wäre denn dann der ansatz bei dem zweiten teil der aufgabe? habe noch nicht so gut verstanden wie das mit dem beweisen funktioniert

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Hast du die allgemeine Gleichung? Also die Behauptung?

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ich erkenne dass die Zahl nach der 8 für jede aufeinanderfolgende ungerade Zahl sich um 1 erhöht, aber mir fällt keine Gleichung dirkekt ein

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Ne, die erhöht sich nicht um 1. Vermutlich meinst du das richtige.

Es sei \(n=2q+1\) eine ungerade Zahl. Dann lässt sich \(n^2\) schreiben als \(n^2=8\cdot... +1\). Was passt da hin?

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n^2 = 4q^2 + 2q + 1 ? ergibt das denn in dem Zusammenhang Sinn oder bin ich komplett falsch. bin irgendwie verwirrter als vorher

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ah hab es

n^2 = 8•q+1

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Für q=1 passt das, aber für q=2 nicht. Wie ist denn die Folge der Faktoren hinter der 8? Die geht ja nicht 1, 2, 3,...

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ich komme nicht drauf, ich verstehe nicht was danach kommen soll

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Also hast du doch noch kein Muster erkannt. Dann schau dir die 6 Gleichungen nochmal an.

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Die Zahl nach der 8 sieht aus wie die Reihenfolge der Dreieckszahlen

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Sehr gut. Wir kommen der Sache näher. Kennst du die allgemeine Formel dafür?

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D_n = n/2 •(n+1) ist die allgemeine Formel für die n-te Dreieckszahl

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ah hab es

n²= 8•q+1

Dann korrigiere mal.

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n^2 = 8• q/2 • (q+1) +1

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n²= 4q² + 2q + 1 

Das stimmte nicht ganz, kann dir jetzt aber helfen und dann sieht man auch die Gleichheit.

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ah stimmt es wäre n^2 = 4q^2 + 4q + 1. Dann setzt man das mit der anderen Gleichung gleich und verinfacht beide Seiten und erhält dann eine Gleichheit. Wäre das dann das Ende des Beweises?

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Theoretisch schon. Der Hinweis der Aufgabe ergibt für mich jetzt nicht so viel Sinn. Also ich sehe gerade nicht, wofür die Fallunterscheidung gebraucht wird.