Zeigen oder widerlegen Sie Gruppen, Körper

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) \( (\mathbb{Z},-) \) ist eine kommutative Gruppe.

(b) \( (\mathbb{N},+) \) ist eine kommutative Gruppe

(c) \( \left(\mathbb{Z}_{3},+, \cdot\right) \) ist ein Körper.

(d) \( \left(\mathbb{Z}_{4},+, \cdot\right) \) ist ein Körper.

Answer 1

a)  nein, da z.B.  3-5=5-3 falsch ist. Es ist nicht mal eine

Gruppe, weil z.B. Assoziativität nicht erfüllt ist.

b) Keine Gruppe, da z.B. 2 kein Inverses hat.

c) stimmt. Solche Gesetze wie Assoziativität, Distributivität

etc. sind quasi vom Ring \( \left(\mathbb{Z},+, \cdot\right) \) geerbt.

Abgeschlossen ist es auch und es gibt 0 und 1.

Additive Inverse sind auch da: Für die 0 ist es 0. für die 1

ist es 2 und für die 2 ist es 1.

Multiplikative Inverse sind 1 für 1 und 2 für 2, also alles paletti.

d) 2 hat kein multiplikatives Inverses ; denn wäre x so eines,

dann müsste ja 2*x=1 gelten, was aber keines der 4 Elemente

von ℤ₄ erfüllt.