A^2 = E2 . Wenn A invertierbar ist (also Det(A)=ad-bc ≠0 ), folgt A=A-1 also
\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \) ==> b=0 und c=0 .
Also sieht die Matrix schon mal so aus: \( A= \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \)
und damit hat man \( A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} \)
Und wegen A^2 = E2 also a^2 = 1 und d^2=1 also gibt es da 4 Fälle
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) oder
\( A= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) oder
\( A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) oder
\( A= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Nun muss noch der Fall det(A)=0 betrachtet werden, also ad=bc.
1. Fall a=0 Dann auch b=0 oder c=0.
1. Unterfall b=0 . Dann hast du \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \)
Das führt auf \( A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ cd & d^2 \end{pmatrix} \),
Das kann also nicht gleich E2 sein.
2. Unterfall c=0 . Dann hast du \( \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \)
Das führt auf \( A^2 = \begin{pmatrix} 0 & bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} \)
Das kann also auch nicht gleich E2 sein.
Entsprechend klärst du auch die anderen Fälle.
