Question

Liegt der Punkt \( R \) auf der Geraden \( P Q \) ?
i. \( \quad P(0,5 \mid 0,7) ; Q(-1 \mid-0,5) ; R(1 \mid 1,2) \)
ii. \( \quad P(0 \mid 0) ; Q(-50 \mid 45) ; R(2 \mid-1,8) \)

Answer 1

Bilde die Gleichung der Geraden und setze die x-Koordinate von R ein. Entspricht das Ergebnis der y-Koordinate, dann liegt der Punkt auf der Geraden.

Gruß, Silvia

Answer 2

Ansatz: \(y=mx+b\) mit Steigung \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Setze die Koordinaten eines der Punkte ein, um \(b\) zu ermitteln. Mache dann eine Punktprobe mit \(R\).

Answer 3

Es geht einfacher als eine Geradengleichung aufzustellen und dann eine Punktprobe zu machen. Die wenigsten Lehrer erklären das aber.

Daher hier ein optimales Vorgehen für solche Art von Fragen.

Berechne die Steigung zwischen P und Q und zwischen P und R. Sind die Steigungen gleich, liegt R auf der Geraden durch P und Q.

a)

m_PQ = (-0.5 - 0.7)/(-1 - 0.5) = 0.8
m_PR = (1.2 - 0.7)/(1 - 0.5) = 1
R liegt nicht auf der Geraden durch P und Q.

b)

mPQ = (45 - 0)/(-50 - 0) = -0.9
mPR = (-1.8 - 0)/(2 - 0) = -0.9
R liegt auf der Geraden durch P und Q.

Comments

Die wenigsten Lehrer erklären das aber.

was die Lehrer auch nicht erklären ist die Determinanten-Methode (ja klar - weil Determinanten dann noch nicht dran waren). \(R\) liegt genau dann auf der Geraden durch \(P\) und \(Q\), wenn $$\left|R \space (P-Q)\right| + \left|P\space Q\right| = 0$$ist. Wenn man das ausmultipliziert, kommt man (natürlich!) auf den gleichen Ausdruck, wie den vom Mathecoach beschriebenen (s.o.)

Zur Erläuterung: Seien \(A\) und \(B\) zwei Punkte in der Ebene mit$$A=\begin{pmatrix}a_x\\ a_y\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} b_x\\ b_y \end{pmatrix}$$dann ist $$\left| A\space B \right| = \left|\begin{pmatrix} a_x & b_x\\ a_y &b_y\end{pmatrix} \right| = \det\begin{pmatrix} a_x & b_x\\ a_y &b_y\end{pmatrix} = a_xb_y - a_yb_x$$Die Methode funktioniert nummerisch auch dann, wenn \(P\) und \(Q\) eine gemeinsame X-Koordinate haben, was von Vorteil ist, wenn man es automatisiert.

Und wenn man es mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms berechnen möchte, habe diese i.A. eine Determinanten-Funktion, was die Sache dann vereinfacht.

Nebeneffekt: ist das Resultat nicht \(=0\), so folgt aus dem Vorzeichen, ob der Punkt links oder rechts von der Richtung \(P\) nach \(Q\) liegt. Bei positivem Resultat liegt der Punkt links (mathematisch positiv gedreht). Das Thema hatten wir auch schon mal in einem anderem Gewand.