Für welchen Wert u wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal?

Question

gegeben ist:

f(x) = -1/4x³ +3x+4

Aufgabe:

Eine Gerade x = u mit u ∈ R und -1<u<4 schneidet die Abszissenachse im Punkt B und deren Graphen G_f im Punkt C.

Die Punkte A (-1|0), B und C sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC.

Bestimmen Sie den Wert für u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider keinen Ansatz wie ich die Aufgabe angehen muss, wo Punkt A sitzt und wie der Funktionsgraph aussieht ist mir bekannt, aber für alles weitere Frage ich euch um Hilfe.

Answer 1

Es ist ein rechtwinkliges Dreieck:

A(u) = (1+u)*f(u)/2

Berechne:

A'(u) = 0

Comments

Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie man darauf kommt?

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Mach dir eine Skizze.

f(x) sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input?i=-1%2F4*x%5E3%2B3x%2B4

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Es ist ein rechtwinkliges Dreieck:
A(u) = (-1+u)*f(u)/2

Die Länge der Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks ist \(u {\color{red}+}1\)

https://www.desmos.com/calculator/9b6c52ck9j

Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie man darauf kommt?

Es ist die Fläche des blauen Dreiecks: Grundseite mal Höhe durch 2

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Die Länge der Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks ist \(u {\color{red}+}1\)

Danke, ich habe es verbessert.

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Wieso ist g=u+1 woher kommt die "+1"?

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Wieso ist g=u+1 woher kommt die "+1"?

Weil \(g\) die Strecke von \(A\) nach \(B\) ist. Du schriebst:

... wo Punkt A sitzt und wie der Funktionsgraph aussieht ist mir bekannt,

Die Strecke von \(A\) zum Ursprung ist \(1\) und vom Ursprung nach \(B\) ist es \(u\). Also in Summe \(g=|AB| = 1+u\)

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Achso, vielen Dank

Answer 2

Die größte Höhe liegt im Maximum (2|8). Die Grundseite hat die Länge 3. Die Höhe hat die Länge 8.

Comments

Vielen Dank für die Erklärung. Da x = u ist, kann die Seite BC nur senkrecht sein, oder?

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Die größte Höhe liegt im Maximum (2|8).

@Roland; das ist nicht richtig. Bewegt man den Punkt \(B\) aus dem Maximum von \(f\) nach rechts, so bringt der Zuwachs der Grundlinie mehr als man durch die abnehmende Höhe verliert.

Schiebe in der App unter der Antwort von ggt22 den Punkt \(B\) aus dem maximum nach rechts und achte auf die Anzeige der Fläche \(F=\dots\).

Das Dreieck \(\triangle ABC\) wird bei \(u \approx {\cancel{2,65}}\space 2,597\) maximal.

Da x = u ist, kann die Seite BC nur senkrecht sein, oder?

@Keskuchen: das ist richtig, \(x=u\) steht senkrecht.

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Deine Lösung stimmt so nicht.

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Deine Lösung stimmt so nicht.

welche meinst Du? die \(u \approx 2,65 \) oder die von Roland?

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Die von Roland.

Der Kommentar sollte unter seinem erscheinen, tut er aber nicht.

Grund ??

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Deine Lösung stimmt so nicht.

tatsächlich! knapp vorbei ist auch daneben. \(u \approx 2,597\) auf drei Stellen hinterm Komma gerundet. Das lag so dicht zusammen, dass es mir nicht aufgefallen ist.