Zeigen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich ist.

Question

Aufgabe: Hallo, kann mir bitte einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Problem/Ansatz:

Es sei \( A=\left\{a_{0}, \ldots, a_{N}\right\} \) eine nichtleere endliche Menge und \( B \) sei eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie, dass die Vereinigung \( A \cup B \) abzählbar unendlich ist.Bemerkung. Betrachten Sie zu einer gegebenen Abbildung \( g: \mathbb{N} \rightarrow B \) die Abbildung \( f: \mathbb{N} \rightarrow A \cup B \) mit\(f(n):=\left\{\begin{array}{l}a_{n} \quad \text { für } n=0,1, \ldots, N \\g(n-(N+1)) .\end{array}\right.\)

Comments

Muss ich dafür die Bijektivität zeigen?

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Hallo

Nicht das ich das sähe. du brauchst nur eine Abb von A∪B auf N, wobei es eine von B auf N gibt.

lul

Answer 1

Ordne die n Elemente der Menge A den ersten n Elementen der Menge B und auch den natürlichen Zahlen von 1 bis n zu. Ordne dann die übrigen Elemente der Menge B den natürlichen Zahlen m>n zu. Da ℕ abzählbar ist, gilt dies auch für A∪B.