Kurvendiskussion - bei f(x) = (x^2-2x-3)/(x-2)?

Question

Hier erstmal die Funktion:
$$f(x)\quad =\quad \frac { x²-2x-3 }{ x-2 }$$

Soweit habe ich die Kurvendiskussion schon beendet. Ich habe die Problemzonen dick markiert.

1. Definitionsbereich:
D = IR \ {2}
Definitionslücke bei x-2 = 0 -> x = 2

2. Symmetrien:
Es ist keine Symmetrie festzustellen da weder:
f(-x) = f(x) oder f(-x) = -f(x) ist.
 

3. Schnittpunkte:
x - Achse - f(x) = 0 -> Bei -1 und 3
y - Achse - f(0) = 0 -> f(0) = 1.5

4. Polstellen suchen
Nenner = 0 setzen:
Das heißt: x - 2 = 0 -> Polstelle bei x = 2

Gegen was muss ich nun den Limes laufen lassen? Ich habe es vorher nie mit einem Bruch gemacht und bin etwas verwirrt deswegen. lim -> +- unendlich?

5. Ermittlung der Ableitungen:
f ' (x) = x²-4x+7 / (x-2)²

f '' (x) = -6 / (x-2)³

f ''' (x) = 18 / (x-2)⁴

6. Extremstellen:
x² - 4x +7 = 0
per PQ bekommt man keine Lösung da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann:
wurzel(4/2² -7)

7. Wende und Sattelpunkte:
$$f''(x)=\frac { -6 }{ (x-2)³ } =0\quad |\quad *(x-2)³\\ -6\quad =\quad (x-2)³\\ -6\quad =\quad x³-6x²+12x-8\\ \quad 0\quad =\quad x³-6x²+12x-2\\ \\ Polynomdivision:\\ (x³-6x²+12x-2):(x-2)\quad =\quad x²-4x+4+\frac { 6 }{ (x-2) } \\ PQ\quad Ergebnis\quad =\quad \frac { 4 }{ 2 } \pm 0\quad =\quad 2$$

Soweit so gut.
Doch setze ich nun für f ''' (2) dann bekomme ich eine Division durch 0:
18 / (2-2)⁴

Was heißt dies nun für die Wendepunkte bzw. Sattelpunkte? Es existieren keine?
 

Answer 1

Gut, dass du in der 3. Ableitung x=2 nicht einsetzen kannst. Da hast du wahrscheinlich richtig gerechnet.

Du hast ja bei x=2 eine Polstelle und Definitionslücke, weder eine Extremalstelle, noch eine Wendestelle, noch einen Terrassenpunkt....

D.h. es gibt dort eine vertikale Tangente mit der Steigung unendlich. Da die Nullstelle im Nenner einfach ist, kommt es bei dieser Polstelle zu einem Vorzeichenwechsel von PLUS zu MINUS unendlich oder umgekehrt.
Das kannst du nicht ausrechnen, weder durch einsetzen in die erste, zweite, dritte .... Ableitung.

Comments

f '' (x) = -6/(x-2)^3 kann nicht 0 geben, da der Zähler -6 nie 0 ist.
Daher weder Wendepunkt noch Sattelpunkt noch Terrassenpunkt möglich, falls deine Ableitung stimmt.

übrigens: 0*(x-2)^3 = 0

Du kommst auf

-6 = 0 und hast sofort einen Widerspruch.

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Alles klar ich habe es soweit verstanden :) ich hab hier noch mehrere Aufgaben und versuch das hier Erfahrene erneut anzuwenden :)
Vielen Dank für die Hilfe.

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Ich habe bei Punk 4. Polstellen auch herausgefunden wie man das mit dem Limes machen muss:
$$\lim _{ x->{ 2 }^{ - } }{ \quad \frac { x²-2x-3 }{ x-2 }  } =>\frac { 2²-2*2-3 }{ 2-2 } =\frac { gegen\quad -3 }{ gegen\quad -0 } =gegen\quad \infty \\ \lim _{ x->{ 2 }^{ + } }{ \quad \frac { x²-2x-3 }{ x-2 }  } =>\frac { 2²-2*2-3 }{ 2-2 } =\frac { gegen\quad -3 }{ gegen\quad +0 } =gegen\quad -\infty$$

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Freut mich.
Bei den Polstellen. Dein Vorgehen sieht richtig aus. Ist allerdings etwas salopp formuliert. Ergänze zumindest im Nenner noch 'hoch Plus' und 'hoch Minus', damit das nicht so gefährlich aussieht.
$$ \lim _{ x->{ 2 }^{ - } }{ \quad \frac { x²-2x-3 }{ x-2 }  } =>\frac { 2²-2*2-3 }{ {2}^{+}-2 } =\frac { gegen\quad -3 }{ gegen\quad -0 } =gegen\quad \infty \\ \lim _{ x->{ 2 }^{ + } }{ \quad \frac { x²-2x-3 }{ x-2 }  } =>\frac { 2²-2*2-3 }{ {2}^{-}-2 } =\frac { gegen\quad -3 }{ gegen\quad +0 } =gegen\quad -\infty $$

Answer 2

Hallo timori,

  ich habe zuerst eine Polynomdivision  und dann
die Kurvendiskusion  durchgeführt

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

Ansonsten kannst du ja wieder eine neue Aufgabe stellen.

mfg Georg